二項樹期權定價：複製、風險中性評價與提前履約

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

二項樹期權定價模型把時間分成多個步驟，並假設標的每一步到達上漲或下跌節點。模型先計算最終節點收益，再反向推回目前價值。它能直觀呈現複製組合及提前履約決策。

這是數值框架，不是預測價格真的只有兩種變化。增加步數能改善近似，卻不能修復錯誤的波動率、股息、利率、履約或結算輸入。

設單步上漲、下跌乘數為 u、d，無風險增長因子為 R。當 d < R < u 時，風險中性上漲機率為：

p = (R − d) / (u − d)

歐式節點價值 V_u、V_d 的目前價值為：

V_0 = [pV_u + (1 − p)V_d] / R

p 是定價權重，不是實際或預測的上漲機率。若 R 不在 (d, u) 內，簡單樹違反其無套利設定。

每個美式節點都比較：

V = max(內含價值, 繼續持有價值的折現期望)

離散股息、變動利率、波動率期限結構及多個履約日可透過調整樹納入。路徑相依契約需要額外狀態，使規模快速增加。

假設股票為 $100，一期後漲至 $120 或跌至 $80，履約價 $100，無風險增長因子 1.05。Call 到期收益為 $20 或 $0。

p = (1.05 − 0.80) / (1.20 − 0.80) = 0.625

C_0 = [0.625 × $20 + 0.375 × $0] / 1.05 ≈ $11.90

複製組合給出相同答案。避險比率為 (20 − 0) / (120 − 80) = 0.5 股。目前借入約 $38.10，一期後負債 $40，使組合在上漲狀態支付 $20、下跌狀態支付 $0。初始成本為 $50 − $38.10 = $11.90。

例子未計股息、成本、價差、稅費和離散避險，因此模型價值是基準而非保證成交價。