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二項樹選擇權定價：複製、持有成本、提前履約與收斂

建立並驗證可重組選擇權樹，區分持有成本與折現，以複製投資組合核對節點價值，並管理提前履約、收斂與執行邊界。

更新於

僅供教育用途；不構成投資建議。投資可能導致損失。

直接回答

二項樹模型在離散狀態格點上為選擇權定價，並不是預測標的價格實際上只會上漲或下跌兩種幅度。模型在每個節點採用上漲因子 u 或下跌因子 d，先計算期末合約現金流量，再逆向推導至評價時點。在單一風險因子的完備市場假設下，同一節點價值還可用股票與現金組成的局部複製投資組合核對。

對於長度為 Delta t 的一步，應把融資成長因子 B = exp(r Delta t) 與標的持有成本成長因子 G = exp((r - q) Delta t) 分開。若 q 為連續比例收益率，無套利定價權重為

p = (G - d) / (u - d)，並須滿足 d < G < u。

歐式選擇權的續存價值為 V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B。在持有人獲准履約的節點，美式或百慕達式選擇權價值為 V = max(H,C)，其中 H 是立即履約價值，C 是續存價值。此架構輸出的是每單位標的之模型價值；合約乘數、數量、官方結算值、可執行買賣價、費用、保證金及信用風險仍須分別處理。

選擇權類型
履約方式
準備
定價權重
0.625
目前價值
US$8.90
避險比率
-0.426
提前履約節點
2

機制

  1. 鎖定請求權與時鐘。 記錄正確的標的與選擇權系列、買權或賣權、履約價、評價時間戳記、到期日與計日規則、可履約日期與履約方式、官方結算、乘數、交付標的、幣別、股利、借券、調整條款及輸出單位。
  2. 選擇並記錄格點。 設定 N、Delta t = T / N 及參數化方法。常用 CRR 設定是 u = exp(sigma sqrt(Delta t)) 與 d = 1 / u；其他樹可以配適不同動差，並呈現不同收斂特性。
  3. 分開持有成本與折現。 以模型一致的零息利率建立 B = exp(r Delta t)，以連續持有成本建立 G = exp((r - q) Delta t)，再計算 p = (G - d) / (u - d)。已知現金股利必須在除息節點明確處理，並可能破壞簡單重組結構。
  4. 建立狀態與期末請求權。 在因子固定的可重組樹中，S(i,j) = S0 u^j d^(i-j)。將合約規定的買權、賣權、現金、實物、調整後交付標的、障礙、平均或其他期末規則套用至官方狀態變數；路徑相依商品需要額外狀態。
  5. 逆向歸納並檢驗履約。 在每個節點折現風險中立子節點價值。歐式商品只採續存價值；美式商品在每個獲准時點比較 H 與 C；百慕達式商品只在合約約定日期比較，並遵守通知與結算時間。
  6. 驗證複製與數值。 在每個一步節點計算 Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d) 與現金部位 b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]。檢查各狀態支付、價格邊界、賣權買權平價、步數加倍、奇偶振盪、其他樹、獨立實作及履約邊界。
  7. 把模型輸出映射至帳戶。 校準曲線、股利、借券及履約價-到期日波動率曲面；透過實際乘數與數量換算每單位價值；比較可執行 bid 與 ask；使用前壓力測試離散避險、跳空、成本、流動性、保證金、指派、交割、稅務及模型版本。

計算範例

  • 單期複製。 設 S0 = $100、u = 1.20、d = 0.80、B = G = 1.05，歐式買權的 K = $100。則 p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625；期末支付為 $20/$0；C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762。複製投資組合給出 Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50 與 b = -$38.095238。上漲狀態組合支付 $60 - $40 = $20，下跌狀態支付 $40 - $40 = $0，初始成本為 $50 - $38.095238 = $11.904762。
  • 美式賣權與提前履約。 使用兩步樹，設 S0 = $100、K = $100、u = 1.20、d = 0.80、B = G = 1.05，因此 p = 0.625。股票期末值 $144/$96/$64 對應的賣權支付是 $0/$4/$36。第一步上漲節點的續存價值為 [0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571，高於內含價值 $0。第一步下跌節點的續存價值為 [0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095，低於立即履約的 $20，因此履約。美式價值為 $7.993197，歐式價值為 $6.292517，離散提前履約溢價為 $1.700680。
  • 持有成本與非單調收斂。 設 S0 = $100、K = $100、T = 1、連續複利 r = 5%、連續收益率 q = 2%、年化 sigma = 20%。採用 CRR 時，一步歐式買權價值為 $11.073541，兩步為 $8.342293，三步為 $9.855621，四步為 $8.760327，64 步為 $9.196691，逐步接近配對的 Black-Scholes-Merton 價值 $9.227006。增加步數會在該模型下改善極限近似，但不保證單調，也無法修正錯誤的現金流量輸入。
  • 模型價值與可執行帳戶金額。 沿用第一個範例的每股模型價值 $11.904762，但假設可執行市場為 $11.60 bid / $12.20 ask。買入一口標準合約，且 M = 100、Q = 1，成本為 $12.20 x 100 = $1,220；模型金額為 $11.904762 x 100 = $1,190.4762，費用前相差 $29.5238。立即按 bid 賣出收回 $11.60 x 100 = $1,160，往返損失 $60。模型 Delta = 0.50 在此假設乘數下對應 50 股，但離散再平衡、跳空、借券及執行使複製結果沒有保證。

模型與生命週期檢查清單

  • 精確配對標的、選擇權代碼、買權或賣權、履約價、到期日、履約方式、結算、乘數、幣別及交付標的。
  • 凍結評價時間戳記、日曆、時區、年化比例、步數、節點日期及營業日處理。
  • 說明樹的參數化，以及其動差、持有成本、偏斜或其他校準目標是否符合預定模型。
  • 當股利、外幣利率、便利收益或借券成本重要時，保持折現用 B 與標的持有成本用 G 分開。
  • 要求 d < G < u；若 p 超出 [0,1]，表示無套利設定失敗，而不是預測機率。
  • 將連續收益率 q 與已知離散、特別、不確定或路徑相依分配分開處理。
  • 依官方結算、現金或實物交付、調整後合約及公司行動核對期末支付。
  • 對障礙、平均、回望、多資產、隨機波動率、利率、信用或其他路徑相依加入足夠狀態。
  • 只允許合約權利持有人在有效通知截止前的獲准日期提前履約。
  • 將美式、百慕達式與歐式履約機會集合和現金、實物或期貨結算區分。
  • 記錄每個 H 高於 C 的節點，並測試股利、利率、借券及數值變化對履約邊界的影響。
  • 在市場假設蘊含完備性時驗證節點複製和狀態支付；不要假設實際交易可以無成本連續避險。
  • 信任價格前檢查無套利邊界、平價、單調性、凸性及極限情形。
  • 比較多種步數、奇偶序列、步數加倍、不同參數化及獨立實作。
  • 不要把振盪、穩定顯示的小數或相關程式路徑結果一致視為準確性證明。
  • 校準相關的完整波動率曲面與曲線；單一歷史波動率或價平報價不能適用所有合約。
  • 區分模型價值、理論中間價、交易所標記、官方結算、可執行 bid、可執行 ask 及清算價格。
  • 以實際乘數與數量換算每單位輸出；調整後與非標準合約不一定使用 100。
  • 壓力測試 bid-ask、部分成交、離散避險時點、跳躍、暫停交易、流動性、融資、借券、保證金、指派及券商強制平倉。
  • 保存輸入、市場資料來源、公司行動與股利版本、程式及求解器版本、收斂證據、核准、費用、稅務及最終帳戶對帳。

常見誤解

  • 「風險中立機率預測下一次漲跌。」 p 是在指定可交易資產及無套利假設下與模型一致的定價權重，不是真實世界機率預測。
  • 「無風險成長因子總應同時放進兩個公式。」 折現使用 B，標的定價權重使用持有成本因子 G；只有在零收益率的簡化設定下兩者才相同。
  • 「步數愈多價格就一定正確。」 加密格點只處理一個模型下的離散化；收斂可能振盪，也無法修正錯誤的股利、波動率、結算或履約條款。
  • 「美式價值就是歐式價值加固定溢價。」 提前履約價值取決於狀態、日期、利率、股利、借券及模型，也可能為零。
  • 「複製證明螢幕價格沒有風險。」 證明依賴模型完備與無摩擦交易；可執行價差、離散避險、跳空、融資、保證金、稅務及結算風險仍然存在。

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