三項樹選擇權定價：三狀態格點與提前履約

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

三項樹把時間和價格離散成格點，標的每一步可上漲、維持中間水準或下跌。校準風險中立轉移機率後，先計算到期支付，再於各節點把機率加權價值折現，逐步反推至今天。

相較二項樹，多出的中間分支提供更多自由度來匹配動差、讓節點對齊履約價或障礙，並改善數值表現。但三分支不自動代表更精確；參數化、步數、股息、履約規則、邊界與市場輸入共同決定結果。

樹模型特別適合美式選擇權，因每個節點都可比較續抱與立即履約。三種分支是數值狀態，不是預測股票實際只會出現三個價格。

對步長 Δt，定義股票乘數 u > m > d 與機率 pᵤ、pₘ、p_d。重組樹使先漲後跌等路徑回到已有節點，以控制節點數量。

風險中立機率至少滿足：

pᵤ + pₘ + p_d = 1

且連續股息率為 q 時：

pᵤu + pₘm + p_dd = e^((r−q)Δt)。

具體三項樹方案還會加入變異數或動差匹配條件，以決定三個機率與乘數。所有機率必須介於零與一；負「機率」表示網格或參數無效，不是交易預測。

到期時 Call 設 V = max(S−K,0)，Put 設 max(K−S,0)。每個更早節點的歐式續抱價值為：

V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)。

美式選擇權則用：

V = max(V_continue, 內含價值)。

重複至根節點。離散現金股息要求股票樹或節點轉移反映除息下跌。Greeks 可由相鄰節點差分估算，但網格對齊與有限差分會帶來數值雜訊。

設 S₀ = $100、Put 履約價 K = $105、一步無風險成長因子 R = 1.02。取 u = 1.10、m = 1.00、d = 0.90，機率：

pᵤ = 0.35、pₘ = 0.50、p_d = 0.15。

其總和為一，預期股票成長為：

0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R。

歐式 Put 價值為：

V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569。

美式 Put 在根節點立即履約價值是 $105 − $100 = $5。因 $5 > $4.6569，這棵一步樹選擇履約，美式 Put 價值為 $5。

交叉檢查：對應歐式 Call 只在上漲狀態支付 $5，故 C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157。所以 C − P = −$2.9412，等於 S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412。