僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。
直接答案
三項樹把時間和價格離散成格點，標的每一步可上漲、維持中間水準或下跌。校準風險中立轉移機率後，先計算到期支付，再於各節點把機率加權價值折現，逐步反推至今天。
相較二項樹，多出的中間分支提供更多自由度來匹配動差、讓節點對齊履約價或障礙，並改善數值表現。但三分支不自動代表更精確；參數化、步數、股息、履約規則、邊界與市場輸入共同決定結果。
樹模型特別適合美式選擇權，因每個節點都可比較續抱與立即履約。三種分支是數值狀態，不是預測股票實際只會出現三個價格。本文討論普通股票選擇權的理論估值，重點是截至 2026-08-22 由 OCC 發行的美國交易所上市選擇權；券商核准、帳戶保證金、稅務與法律處理會因產品及司法管轄區而異，應向相關券商、交易所、OCC 資料及合資格顧問核實現行契約與帳戶條款。
格點與反向歸納
對步長 Δt，定義股票乘數 u > m > d 與機率 pᵤ、pₘ、p_d。重組樹使先漲後跌等路徑回到已有節點，以控制節點數量。此處 r 與 q 是該步長內按連續複利計算的利率。
風險中立機率至少滿足：
pᵤ + pₘ + p_d = 1
且連續股息率為 q 時：
pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt)。
具體三項樹方案還會加入變異數或動差匹配條件，以決定三個機率與乘數；只有正規化與預期成長限制，既不能使三狀態單期市場完備，也不能選出唯一的風險中立測度。所有機率必須介於零與一；負「機率」表示網格或參數無效，不是交易預測。
到期時 Call 設 V = max(S−K,0)，Put 設 max(K−S,0)。每個更早節點的歐式續抱價值為：
V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)。
美式選擇權則用：
V = max(V_continue, intrinsic value)。
重複至根節點。離散現金股息要求股票樹或節點轉移反映除息下跌。Greeks 可由相鄰節點差分估算，但網格對齊與有限差分會帶來數值雜訊。
一步數字範例
設 S₀ = $100、Put 履約價 K = $105、一步無風險成長因子 R = 1.02。取 u = 1.10、m = 1.00、d = 0.90，機率：這些是假設的無股息教學輸入，並非針對某份市場報價選擇權或市場資料集進行校準。
pᵤ = 0.35、pₘ = 0.50、p_d = 0.15。
其總和為一，預期股票成長為：
0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R。
| 到期股價 | Put 支付 max(105−S,0) |
機率加權支付 |
|---|---|---|
$110 |
$0 |
$0 |
$100 |
$5 |
$2.50 |
$90 |
$15 |
$2.25 |
歐式 Put 價值為：
V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569。
美式 Put 在根節點立即履約價值是 $105 − $100 = $5。因 $5 > $4.6569，這棵一步樹選擇履約，美式 Put 價值為 $5。
交叉檢查：在相同的無股息歐式假設下，對應 Call 只在上漲狀態支付 $5，故 C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157。所以 C − P = −$2.9412，等於 S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412。
模型檢查與風險
- 寫明具體參數化；「三項樹」本身不定義
u、d或機率。 - 拒絕負機率，驗證風險中立成長與變異數條件。
- 增加步數並記錄收斂，別相信單一網格。
- 相同假設下與 Black-Scholes 比較歐式結果，檢查內含價值與無套利界限。
- 檢查美式價值不低於歐式價值，並觀察履約邊界。
- 正確建模離散股息、利率、借券、履約方式、結算與契約調整。
- 盡量讓重要履約價、障礙與股息日期對齊網格。
- 壓測波動率、步數、時間離散與邊界選擇。
- 區分模型價值與可成交 Bid/Ask、費用、滑價與市場深度。
- 以獨立實作或基準案例檢查索引和折現錯誤。
常見誤解
- 「三分支是在預測漲、平、跌。」它們是為定價校準的數值狀態。
- 「機率是歷史發生率。」它們是模型決定的風險中立權重。
- 「分支愈多愈準。」校準錯誤的三項樹仍然錯誤。
- 「一步樹顯示提前履約，就代表現實應立即履約。」結果依賴粗略範例與省略輸入。
- 「模型價就是可成交公允報價。」成交取決於供需、價差、庫存與成本。
- 「收斂證明模型真實。」只證明給定假設內數值穩定，不證明假設符合市場。