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走廊變異數交換：觀察規則、正規化與計量單位

計算價格走廊內經指示函數加權的實現變異數，並嚴格控制觀察規則、分母、變異數單位、名目本金、上限、跳躍及店頭市場結算。

更新於

僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能產生損失。

直接答案

走廊變異數交換是一種經指示函數加權的變異數契約。它只對符合契約所定價格區間測試的區間累加報酬率平方。「走廊」這個名稱本身無法判定測試採用區間起點價格、終點價格、兩個端點或盤中條件，也無法判定分母計入全部預定報酬區間或僅計入有效區間。

設官方調整後觀察水準為 P₀,…,P_N，對數報酬率為 r_i=ln(P_i/P_{i−1})。對走廊 [L,H] 而言，示例權重分別為 w_i^start=I(L≤P_{i−1}≤H)、w_i^end=I(L≤P_i≤H) 及 w_i^both=w_i^start×w_i^end。邊界採包含或嚴格不等式，以及觸及、穿越、跳空、觀察時點與備援價格的處理方式，均由確認書規定。

設年化因子為 A、預定區間數為 N_sched、有效區間數為 N_active=Σw_i，兩種經濟意義不同的定義為 RV_sched=(A/N_sched)Σw_i r_i² 及 RV_active=(A/N_active)Σw_i r_i²。有效觀察公式必須明定 N_active=0 時的處理規則。這些指標衡量實現二次變差；除非條款明定，通常不會扣除樣本平均數。

如何約定並計算交換

  1. 鎖定法律請求權與交易雙方：主契約、交易確認書、標的及指數版本、價格報酬或總報酬口徑、幣別、生效日、觀察期、評價日與付款日、營業日慣例、計算代理人、準據法及買方或賣方方向。
  2. 鎖定觀察網格與走廊：官方價格來源及時點、L、H、固定或重設水準、包含或嚴格觸及規則、起點、終點、雙端點或盤中權重，以及穿越和跳空的處理方式。
  3. 定義每個報酬率與調整後水準。記錄對數、簡單、總額或淨額報酬率；股利、分割、公司行動、指數再平衡、外匯或Quanto條款；缺失觀察值；市場中斷、延後、備援及更正規則。
  4. 製作可稽核的區間表，列示 P_{i−1}、P_i、r_i、r_i²、w_i 及 w_i r_i²。其後依條款套用 A、N_sched、有效觀察值數量、N_active、零有效觀察的備援規則、日數計算及捨入慣例，不得在路徑實現後更換分母。
  5. 統一全部現金計量單位。若波動率以數值型波動率點報價，則 K_var,points=K_vol²；若以十進位單位計量，則 K_var,decimal=(K_vol/100)²，且 1 decimal variance unit=10,000 variance points。記錄變異數名目本金、Vega名目本金、買賣方向符號、履約水準、下限、實現變異數上限、單期報酬上限及付款上限，以及其確切套用順序。
  6. 依據相關遠期價格、完整波動率曲面與偏斜、邊界區域、利率、股利、跳躍及觀察網格進行定價與避險。區分理想化連續監控複製與有限履約價和期限、離散取樣、邊界切換、局部時間效應、交易成本及實際平倉流動性。
  7. 獨立重算每個觀察值與現金流量。核對計算代理人報表、按市價評價、模型版本、評價準備、確認書、CSA門檻與擔保品、淨額結算、爭議、違約平倉、費用、稅務、結算幣別及最終付款。

對採用十進位變異數名目本金 N_var,decimal、履約變異數 K_var、選擇性實現變異數下限 F_var 和上限 C_var 的變異數買方，一種可能的帶符號報酬為 Π=N_var,decimal×(min(max(RV,F_var),C_var)−K_var)。賣方收取該金額的相反數。現金付款上限、每期報酬上限及年化 RV 上限不可互換。

變異數是波動率的平方。十進位變異數 0.04、變異數水準 400 variance points 與波動率 20 vol points 代表相同水準，因為 0.04×10,000=400=20²。但三者並不共用相同現金名目本金。在以波動率點表示的履約水準 K_vol 附近，一種常見的局部慣例為 N_vega≈2×K_vol×N_var,points；精確變異數報酬對波動率仍為二次關係，而非線性關係。

計算範例

  • 起點、終點與雙端點測試。 採用包含邊界的走廊 [90,110]、水準 P=[100,105,115,108,88]、年化因子 A=252 及預定分母 N_sched=4。四個對數報酬率為 [0.04879016417,0.09097177821,−0.06280090124,−0.20479441265]，平方為 [0.00238048012,0.00827586443,0.00394395320,0.04194075145]。起點權重 [1,1,0,1] 得出總和 0.05259709600、RV_start=3.31361704804 與波動率等值 182.0334%。終點權重 [1,0,1,0] 得出 RV_end=0.39843929892 和 63.1220%；雙端點權重 [1,0,0,0] 得出 RV_both=0.14997024754 和 38.7260%。從 108 跳至 88 的變動僅在起點測試下納入計算。
  • 預定觀察與有效觀察正規化。 五個預定報酬區間的權重為 [1,0,1,0,1]；符合條件的報酬率為 +3%、−2% 及 +1%，所以 Σw_i r_i²=0.0014。在 A=252 時，預定觀察正規化得出 RV_sched=252×0.0014÷5=0.07056，波動率等值為 26.5631%；有效觀察正規化得出 RV_active=252×0.0014÷3=0.1176 和 34.2929%。符合條件的分子完全相同，但兩份契約在經濟上並不等價。
  • 變異數點、十進位單位與Vega名目本金。 設 K_vol=20，則 K_var=400 variance points=0.04 decimal variance；實現波動率為 22，故實現變異數為 484 points=0.0484。若 N_vega=$10,000 per vol point，局部履約水準換算得出 N_var,points=$10,000÷(2×20)=$250 per variance point，相當於 N_var,decimal=$2,500,000 per decimal variance unit。買方精確報酬為 (484−400)×$250=$21,000；線性Vega估計為 (22−20)×$10,000=$20,000。兩者的 $1,000 差額是二次曲率項，並非捨入誤差。
  • 跳躍、狀態切換與實現變異數上限。 採用走廊 [80,120]、起點價格測試、4 scheduled returns、A=252、對數報酬率 [2%,−1%,−45%,3%] 及權重 [1,1,1,0]。從走廊內跳至走廊外的 −45% 報酬納入計算，其後的報酬則被排除；符合條件的報酬率平方總和為 0.203，所以原始 RV=252×0.203÷4=12.789。在 K_var=0.04、N_var,decimal=$100,000 且無上限時，買方報酬為 (12.789−0.04)×$100,000=$1,274,900。若確認書改為將年化實現變異數上限設為 C_var=0.64，報酬為 (0.64−0.04)×$100,000=$60,000。這並不代表單期報酬上限或現金付款上限。

條款、模型與生命週期風險

  • 核實標的、指數版本、價格報酬或總報酬口徑及計算代理人。
  • 鎖定結算幣別、外匯或Quanto條款及兩條走廊邊界的計價幣別。
  • 記錄觀察日曆、時點、時區、假日及官方價格來源。
  • 定義缺失、延遲、受中斷、延後、備援及更正後的觀察值。
  • 明定採用對數、簡單、總額或淨額報酬率，以及是否進行平均數調整。
  • 明定股利、分割、公司行動、指數再平衡及調整後水準的處理方式。
  • 記錄每個區間固定、遠期相對或重設的 L 及 H。
  • 區分包含與嚴格邊界，並精確定義「觸及」。
  • 區分起點、終點、雙端點、平均值及盤中有效性規則。
  • 對會使整個報酬率平方的指示函數切換狀態的隔夜跳空與跳躍進行壓力測試。
  • 不得混用預定、有效及活躍觀察值的分母。
  • 定義 N_active=0 或僅餘極少有效觀察值時的結果。
  • 鎖定年化方式、日數計算、觀察值數量、精度及捨入規則。
  • 區分十進位變異數、變異數點、波動率點及報價百分比。
  • 區分變異數名目本金與Vega名目本金，並驗證任何局部換算。
  • 按約定順序套用單期報酬上限、實現變異數上限、下限及付款上限。
  • 對完整偏斜與曲面、邊界集中度、跳躍及模型校準進行壓力測試。
  • 為有限選擇權組合、離散監控、交易成本及避險滑價誤差預留空間。
  • 納入平倉流動性、評價準備、模型差異及計算爭議。
  • 納入交易對手信用、CSA擔保品、門檻、淨額結算、違約平倉、費用及稅務。

常見迷思

  • 走廊外的每一次價格變動都會自動從結算中消失。
  • 穿越邊界的報酬區間一定會被排除。
  • 對相同的合格報酬率採預定觀察日與有效觀察日正規化會得到相同結果。
  • 波動率 20% 代表變異數 0.20，或Vega名目本金可直接替代變異數名目本金。
  • 走廊越窄必然越安全，且連續複製可以消除跳躍或避險風險。

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