有限差分オプション価格：グリッド、安定性、早期行使

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

有限差分オプション価格法は、連続的な価格方程式を原資産価格と時間のグリッドへ置き換え、隣接ノードの差で微分を近似し、満期ペイオフから現在の理論価値へ逆算します。米国型行使、バリア、時間依存入力など、便利な閉形式がない境界依存契約に有用です。

この方法で価格が客観的または取引可能になるわけではありません。確率モデル、ペイオフ、配当、ボラティリティ、金利、グリッド範囲、境界条件、数値方式、収束許容値に依存します。未収束グリッドの精密な小数も誤答です。

連続配当利回り q を持つ定数パラメータのBlack–Scholes仮定では、価値 V(S,t) は：

∂V/∂t + 0.5σ²S² ∂²V/∂S² + (r−q)S ∂V/∂S − rV = 0。

価格ノード S_i=iΔS を Smax まで、時間ノードを Δt 間隔で設定します。満期にPutなら max(K−S,0) のペイオフを置きます。隣接値でDelta、中央二階差分でGammaを近似し、低価格・高価格の境界条件に従って後ろ向きに進みます。

**陽解法：**既知の層から前の層を直接計算します。単純ですが条件付き安定で、ΔS に対して Δt が大きすぎると振動や不可能な価格を生みます。
**陰解法：**各ステップで三重対角線形系を解きます。一般に安定性は高いものの、陽解法より時間離散誤差と計算量があります。
**Crank–Nicolson：**二つの時間層の空間演算子を平均します。滑らかな解では通常時間二次精度ですが、満期ペイオフの折れや不連続で振動し得るため、初期陰解法ステップやRannacher平滑化を使います。

米国型オプションの各ノードは：

V(S,t) ≥ 即時行使ペイオフ。

継続価値を推定後、内在価値との大きい方を取るか、同等の線形相補性問題を解きます。選択が切り替わる境界が自由行使境界です。

米国型Putを S=$95、K=$100、T=0.5年、σ=25%、r=4%、q=0 とします。Smax=$200、ΔS=$1、Δt=0.0005年なら、満期の $95 ノードは内在価値 $5 から始まります。

逆算中、満期近くの $95 ノードの継続価値が $6.18 なら、即時行使 $5 ではなく $6.18 を残します。$70 ノードで継続価値 $29.72、即時行使 $30 なら、米国型制約は $30 を残します。反復により価値面と早期行使境界を構築します。

これは収束記録の例で、普遍的公正価値ではありません。欧州型をBlack–Scholes、米国型を十分深い二項ツリーや独立ソルバーと比較し、価格とギリシャ指標が明示した許容値に達するまで細分化します。

市場検証には同時刻のBid/Askが必要です。スキュー、需給、ヘッジ費用、手数料、流動性、離散取引、ジャンプ、モデルリスクにより中値と約定価格は異なります。