لأغراض تعليمية فقط؛ لا يشكل ذلك نصيحة استثمارية أو توصية استثمارية. قد تؤدي الاستثمارات إلى خسائر.
الإجابة المباشرة
تسعّر الشجرة الثلاثية خيارًا على شبكة منفصلة للوقت والسعر، حيث يصعد سعر الأصل الأساسي أو يبقى عند مستوى متوسط أو يهبط في كل خطوة. وبعد معايرة احتمالات الانتقال المحايدة للمخاطر، تحسب عوائد الاستحقاق ثم ترجع إلى القيمة الحالية بخصم القيمة المرجحة بالاحتمالات في كل عقدة.
يمنح الفرع الأوسط الإضافي درجات حرية أكثر من الشجرة الثنائية لمطابقة العزوم، ومحاذاة العقد مع أسعار الممارسة أو الحواجز، وتحسين السلوك العددي. لكنه لا يجعل السعر أدق تلقائيًا؛ فالنتيجة تتحدد بطريقة ضبط المعلمات وعدد الخطوات وتوزيعات الأرباح وقاعدة الممارسة ومعالجة الحدود ومدخلات السوق.
تفيد الأشجار خصوصًا في الخيارات من النمط الأمريكي، لأن كل عقدة تتيح مقارنة قيمة الاستمرار بقيمة الممارسة الفورية. والحالات السعرية الثلاث حالات حسابية، وليست توقعًا بأن السهم لن يتخذ إلا هذه الأسعار. تتناول هذه المقالة التقييم النظري لخيارات الأسهم البسيطة، ولا سيما الخيارات المدرجة في بورصات الولايات المتحدة والصادرة عن OCC، وفق مراجعة 2026-08-22. أما موافقة الوسيط وهامش الحساب والمعالجة الضريبية والقانونية فتختلف باختلاف المنتج والولاية القضائية؛ لذلك يجب التحقق من الشروط السارية لدى الوسيط والبورصة وفي وثائق OCC ومع مستشارين مؤهلين.
شعرية والحث الخلفي
لخطوة طولها Δt، حدد مضاعفات السعر u > m > d والاحتمالات pᵤ، pₘ، p_d. تضبط الشجرة المعاد تجميعها بحيث تعود مسارات مثل الصعود ثم الهبوط إلى عقدة موجودة، فيظل عدد العقد قابلًا للإدارة. ويمثل r وq هنا معدلين مركبين باستمرار خلال الخطوة.
يجب أن تحقق الاحتمالات المحايدة للمخاطر ما يلي على الأقل:
pᵤ + pₘ + p_d = 1
ومع عائد توزيعات الأرباح المستمر q،
pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt).
يضيف كل مخطط ثلاثي شروطًا للتباين أو لمطابقة العزوم كي يحدد الاحتمالات والمضاعفات الثلاثة؛ فالتطبيع والنمو المتوقع وحدهما لا يكملان سوقًا لفترة واحدة بثلاث حالات ولا يختاران مقياسًا وحيدًا محايدًا للمخاطر. يجب أن تقع جميع الاحتمالات بين صفر وواحد. ويشير «الاحتمال» السالب إلى شبكة غير صالحة أو معلمات غير متوافقة، لا إلى توقع قابل للتداول.
عند انتهاء الصلاحية، قم بتعيين V = max(S−K,0) للمكالمة أو max(K−S,0) للوضع. عند كل عقدة سابقة، تكون قيمة الاستمرارية الأوروبية هي
V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d).
بالنسبة للخيار الأمريكي، استخدم
V = max(V_continue, intrinsic value).
كرر حتى الجذر. تتطلب الأرباح النقدية المنفصلة تحولات شجرة الأسهم أو العقدة لتعكس انخفاض الأرباح السابقة. يمكن تقدير الإغريق من العقد المجاورة، ولكن محاذاة الشبكة والاختلافات المحدودة تؤدي إلى ضوضاء رقمية.
مثال عملي بخطوة واحدة
افترض S₀ = $100، وسعر ممارسة Put هو K = $105، وعامل النمو الخالي من المخاطر لخطوة واحدة هو R = 1.02. استخدم u = 1.10 وm = 1.00 وd = 0.90 والاحتمالات التالية. هذه مدخلات تعليمية افتراضية بلا توزيعات أرباح، وليست معايرة لخيار ذي سعر معلن أو لمجموعة بيانات سوقية.
pᵤ = 0.35، pₘ = 0.50، p_d = 0.15.
إنهما مجموعهما واحد، والنمو المتوقع للأسهم هو
0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R.
| سعر السهم النهائي | عائد Put وهو max(105−S,0) |
العائد المرجح بالاحتمال |
|---|---|---|
$110 |
$0 |
$0 |
$100 |
$5 |
$2.50 |
$90 |
$15 |
$2.25 |
قيمة البيع الأوروبية هي
V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569.
في Put أمريكي، تساوي قيمة الممارسة الفورية عند الجذر $105 − $100 = $5. ولأن $5 > $4.6569، يختار نموذج الخطوة الواحدة الممارسة ويقيم Put الأمريكي عند $5.
وللتحقق في ظل الافتراضات الأوروبية نفسها ومن دون توزيعات أرباح، يدفع Call المقابل $5 في حالة الصعود فقط، ومن ثم C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157. وبذلك يكون C − P = −$2.9412، مطابقًا لـ S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412.
الضوابط والمخاطر النموذجية
- اذكر طريقة تحديد معلمات الشجرة بدقة؛ فكلمة «ثلاثية» وحدها لا تحدد
uأوdأو الاحتمالات. - ارفض الاحتمالات السالبة، وتحقق من شرطي النمو والتباين المحايدين للمخاطر.
- زد عدد الخطوات وسجل التقارب بدلًا من الاعتماد على شبكة واحدة.
- قارن نتائج النمط الأوروبي مع Black-Scholes في ظل الافتراضات نفسها، وتحقق من القيمة الجوهرية وحدود انعدام المراجحة.
- قارن قيم النمط الأمريكي بقيم النمط الأوروبي وافحص حد الممارسة.
- مثل توزيعات الأرباح المنفصلة والفائدة وتكلفة الاقتراض ونمط الممارسة والتسوية وتعديلات العقد تمثيلًا صحيحًا.
- حاذ أسعار الممارسة والحواجز وتواريخ الأرباح المهمة مع الشبكة متى أمكن.
- أجر اختبارات ضغط للتقلب وعدد الخطوات وتقسيم الزمن وشروط الحدود.
- افصل قيمة النموذج عن أسعار Bid/Ask القابلة للتنفيذ والرسوم والانزلاق والحجم المتاح.
- استخدم تنفيذًا مستقلًا أو حالات مرجعية لكشف أخطاء الفهرسة والخصم.
مفاهيم خاطئة شائعة
- «الفروع الثلاثة تتنبأ بالصعود والثبات والهبوط.» إنها حالات عددية معايرة لأغراض التسعير.
- «الاحتمالات هي معدلات تكرار تاريخية.» إنها أوزان محايدة للمخاطر يحددها النموذج.
- «زيادة عدد الفروع تضمن الدقة.» تظل نتائج الشجرة الثلاثية سيئة المعايرة خاطئة.
- «الممارسة المبكرة في المثال تثبت أن على حامل حقيقي أن يمارس الآن.» يتوقف الاستنتاج على شبكة شديدة الخشونة ومدخلات محذوفة.
- «سعر النموذج عرض عادل وقابل للتنفيذ.» يعتمد التنفيذ على العرض والطلب والفروق والمخزون والتكاليف.
- «التقارب يثبت صحة النموذج.» لا يبين إلا الاستقرار العددي ضمن الافتراضات، لا ملاءمة تلك الافتراضات للسوق.