Arbitragefreie Optionsgrenzen: Call, Put und Paritätsprüfung

Prüfen Sie passende Optionskurse mit Cashflow-Grenzen und Put-Call-Parität unter korrekter Berücksichtigung von Carry, Ausübungsart, handelbaren Preisen und Vertragsbedingungen.

Nur zu Bildungszwecken; keine Anlageberatung. Anlagen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Arbitragefreie Optionsgrenzen sind Preisungleichungen, die aus Portfolios folgen, welche die Cashflows einer Option dominieren oder replizieren. Für in allen Bedingungen übereinstimmende europäische Calls und Puts auf eine dividendenlose Aktie gelten die Grundbeziehungen:

max(0, S₀ − Ke^(−rT)) ≤ c ≤ S₀

max(0, Ke^(−rT) − S₀) ≤ p ≤ Ke^(−rT)

c − p = S₀ − Ke^(−rT)

Dabei sind c und p die aktuellen Optionswerte, S₀ der Kassakurs, K der Ausübungspreis, r ein nicht negativer stetig verzinster Zinssatz und T die Restlaufzeit. Put-Call-Parität und Grenzen erfordern denselben Anspruch auf den Basiswert, Ausübungspreis, Verfall, Ausübungsart, Liefergegenstand und dieselben Abrechnungsbedingungen. Ein Bildschirmkurs außerhalb einer Grenze ist ein Untersuchungsanlass, kein Beweis für einen ausführbaren risikolosen Gewinn.

Warum die Grenzen gelten

Der Inhaber kann auf die Ausübung verzichten, daher kann eine Long-Option keinen negativen Wert haben. Unter diesen Annahmen darf ein europäischer Call nicht mehr als die Aktie und ein europäischer Put nicht mehr als der Barwert von K kosten.

Für die Call-Untergrenze wird die Aktie mit einem Call plus einem Zerobond-Anspruch zum Preis Ke^(−rT) verglichen. Bei Fälligkeit ist dieses Paket max(S_T − K, 0) + K = max(S_T, K) wert und niemals weniger als S_T. Aktie plus Put haben denselben dominierenden Endwert. Das Gesetz des einheitlichen Preises liefert damit die angegebenen Ungleichungen; die Parität folgt, weil Aktie plus Put und Call plus Ausübungspreisanspruch identische End-Cashflows haben.

Bei einer deterministischen stetigen Dividendenrendite q wird der Kassakurs durch den Wert des Prepaid Forward S₀e^(−qT) ersetzt:

max(0, S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)) ≤ c ≤ S₀e^(−qT)

max(0, Ke^(−rT) − S₀e^(−qT)) ≤ p ≤ Ke^(−rT)

c − p = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)

Bei bekannten diskreten Bardividenden ist der Barwert der Dividenden anzusetzen, die während der Optionslaufzeit dem Aktieninhaber zustehen. Ungewisse Dividenden sind Schätzungen, keine fest vereinbarten Cashflows. Negative Zinsen, Leihbeschränkungen, Steuern oder unterschiedliche Aufnahme- und Anlagekurven erfordern Grenzen aus den tatsächlich erreichbaren Diskontfaktoren; die vereinfachten Formeln dürfen nicht mechanisch übernommen werden.

Amerikanische Ausübung verändert das Ergebnis. Bei nicht negativem Zins und einer gewöhnlichen dividendenlosen Aktie sind max(0, S₀ − K) ≤ C ≤ S₀ und max(0, K − S₀) ≤ P ≤ K nützliche einfache Grenzen. Die europäische Put-Call-Gleichheit ist im Allgemeinen nicht übertragbar, weil jede amerikanische Option vorzeitig ausgeübt werden kann.

Beispiel einer Grenzverletzungsprüfung

Eine dividendenlose Aktie stehe bei $100, ein einjähriger europäischer Call habe K = $90 und PV(K) = $86. Seine Untergrenze beträgt $14. Liegt sein ausführbarer Ask bei $5 und kann die Aktie tatsächlich zu $100 leerverkauft werden, lautet der Lehrbuchhandel:

eine Aktie für +$100 leerverkaufen;
einen Call für −$5 kaufen;
−$86 in einen Zerobond-Anspruch investieren, der bei Fälligkeit $90 zahlt.

Der anfängliche Zahlungsmittelzufluss beträgt +$9. Bei Fälligkeit verbleibt max(S_T − 90, 0) + 90 − S_T = max(90 − S_T, 0) und ist daher nie negativ. Bei einem Standardmultiplikator von 100 Aktien beträgt der scheinbare Anfangszufluss $900 vor Wertpapierleihkosten, Dividenden, Bid-Ask Spread, Gebühren, Margin, Steuern und Ausführungsrisiko.

Als gesonderte Diagnose gilt: Zeigt der Bildschirm c = $5 und p = $1, ist c − p = $4, während S₀ − PV(K) = $14 beträgt; die Paritätslücke ist $10. Das belegt dennoch keinen Handel. Jedes Leg muss auf der richtigen ausführbaren Seite bewertet, zeitlich synchronisiert, in ausreichender Größe verfügbar sowie rechtlich und operativ lieferbar sein.

Checkliste zur Kursprüfung

Exakten Basiswert oder Referenzanspruch, Optionswurzel, Ausübungspreis, Verfall, Call oder Put und Ausübungsart abgleichen.
Multiplikator, Liefergegenstand, Kapitalmaßnahmenanpassung, Währung sowie physische oder Barabrechnung bestätigen.
Für Richtung und Größe jedes Legs synchronisierte ausführbare Bid und Ask verwenden, nicht Last, Mark oder Mid.
Zeitstempel von Aktie oder Forward und Optionskursen abgleichen und unterschiedliche Handelszeiten berücksichtigen.
Relevanten Diskontfaktor, Zinstage, Zinskonvention und tatsächlichen Aufnahme- oder Anlagezins anwenden.
Bekannte Dividenden und Ex-Tage einbeziehen; unsichere, besondere, gekürzte oder ausgefallene Ausschüttungen stressen.
Locate, Leihverfügbarkeit, Gebühr, Rebate, Sicherheiten, Rückruf, Zwangseindeckung und Dividendenersatzzahlung prüfen.
Europäische und amerikanische Ausübung unterscheiden und vorzeitige Ausübung sowie Zuteilung über die gesamte Haltedauer modellieren.
Offizielle Abrechnungsreferenz und Zeitachse einschließlich Handelsschluss, Ausübungsfrist sowie Geld- oder Wertpapierbuchung verwenden.
Provisionen, Börsenentgelte, Steuern, Margin, Kapitalbindung und Opportunitätskosten einbeziehen.
Teilausführungen, abgelehnte Legs, Handelsunterbrechungen, veraltete Kurse, unzureichende Größe und Legging-Risiko kontrollieren.
Eine Grenzverletzung zuerst als Daten-, Vertrags- oder Modellausnahme behandeln; vor der Bezeichnung als Arbitrage alle Positionen und Cashflows abstimmen.

Häufige Irrtümer

„Jede Bildschirmverletzung ist kostenloses Geld.“ Veraltete, gekreuzte, einseitige oder nicht ausführbare Kurse sind häufige Ursachen.
„Der innere Wert ist immer die Untergrenze.“ Diskontierung, Dividenden und Ausübungsart bestimmen die anwendbare Grenze.
„Jeder Call und Put lassen sich vergleichen.“ Ansprüche und Vertragsbedingungen müssen exakt übereinstimmen.
„Mid-Parität beweist Arbitrage.“ Jeder erforderliche Kauf erfolgt zum Ask und jeder Verkauf zum Bid.
„Der risikofreie Zins ist mein Finanzierungssatz.“ Tatsächliche Aufnahme-, Anlage-, Sicherheiten- und Marginbedingungen können abweichen.
„Amerikanische und europäische Optionen verwenden dieselbe Gleichheit.“ Das vorzeitige Ausübungsrecht durchbricht die einfache europäische Replikation.
„Ein Preis unter dem Volatilitätsmodell verletzt die Arbitragefreiheit.“ Ein Modellwert ist stärker und annahmenabhängiger als eine Cashflow-Grenze.
„Ein positiver Anfangszufluss genügt.“ Auch künftige Finanzierung, Lieferung, Ausübung, Zuteilung und Abrechnung müssen feststehen.