教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。
直接の答え
オプションの無裁定境界とは、オプションのキャッシュフローを支配または複製するポートフォリオから導かれる価格不等式です。無配当株を原資産とし、条件が一致する欧州型 Call と Put の基本関係は次のとおりです。
max(0, S₀ − Ke^(−rT)) ≤ c ≤ S₀
max(0, Ke^(−rT) − S₀) ≤ p ≤ Ke^(−rT)
c − p = S₀ − Ke^(−rT)
c と p は現在のオプション価値、S₀ は現物価格、K は行使価格、r は非負の連続複利金利、T は満期までの期間です。Put-Call Parity と境界を使うには、原資産に対する権利、行使価格、満期、行使方式、受渡し内容、決済条件が同一でなければなりません。画面上の価格が境界を外れていても、調査すべき兆候にすぎず、執行可能な無リスク利益の証明にはなりません。
境界が成立する理由
保有者は行使を見送れるため、ロング・オプションの価値は負になりません。これらの仮定では、欧州型 Call は株式より高くならず、欧州型 Put は K の現在価値より高くなりません。
Call の下限は、株式と「Call に、Ke^(−rT) を要するゼロクーポン債権を加えたもの」を比較して導きます。後者の満期価値は max(S_T − K, 0) + K = max(S_T, K) で、常に S_T 以上です。株式と Put の組合せも同じ支配的な満期価値を持ちます。一物一価により上記の不等式が得られ、株式と Put、Call と行使価格債権の満期キャッシュフローが等しいことからパリティが得られます。
確定的な連続配当利回りを q とする場合、現物価格をプリペイド・フォワード価値 S₀e^(−qT) に置き換えます。
max(0, S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)) ≤ c ≤ S₀e^(−qT)
max(0, Ke^(−rT) − S₀e^(−qT)) ≤ p ≤ Ke^(−rT)
c − p = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)
既知の離散現金配当については、オプション存続中に株主へ帰属する配当の現在価値を用います。不確実な配当は推定値であり、固定されたキャッシュフローではありません。負金利、借株制約、税金、または借入・運用曲線の違いがある場合、簡略式を機械的に再利用せず、実際に利用可能な割引係数から境界を組み立てる必要があります。
米国型行使では結果が変わります。非負金利の通常の無配当株について有用な単純境界は max(0, S₀ − K) ≤ C ≤ S₀ と max(0, K − S₀) ≤ P ≤ K です。いずれの米国型オプションも早期行使され得るため、欧州型の Put-Call 等式は一般には引き継げません。
境界違反の検証例
無配当株が $100、一年物欧州型 Call の K = $90、PV(K) = $86 とします。Call の下限は $14 です。約定可能な Ask が $5 で、株式を実際に $100 で空売りできるなら、教科書上の取引は次のとおりです。
- 一株を空売りして +$100 を受け取る。
- Call を一枚買い、−$5 を支払う。
- −$86 をゼロクーポン債権へ投資し、満期に $90 を受け取る。
当初の現金流入は +$9 です。満期の残余キャッシュフローは max(S_T − 90, 0) + 90 − S_T = max(90 − S_T, 0) なので、負にはなりません。標準的な 100 株乗数なら見かけの当初流入は $900 ですが、借株料、配当、Bid-Ask Spread、手数料、証拠金、税金、執行リスクは含まれていません。
別の診断として、画面表示が c = $5、p = $1 なら、c − p = $4 に対し S₀ − PV(K) = $14 で、パリティ差は $10 です。それでも取引の成立は証明されません。各レッグを正しい売買側の約定可能価格で評価し、時刻を同期し、十分な数量を確保し、法務・実務上受渡し可能である必要があります。
気配値検証チェックリスト
- 正確な原資産または参照権利、オプションルート、行使価格、満期、Call か Put か、行使方式を一致させる。
- 乗数、受渡し内容、企業行動調整、通貨、現物決済か現金決済かを確認する。
- Last、Mark、Mid ではなく、各レッグの方向と数量に対応する同期済みの約定可能 Bid と Ask を使う。
- 株式またはフォワードとオプション価格の時刻を合わせ、取引時間の差を考慮する。
- 適切な割引係数、日数計算、複利慣行、実際の借入・運用金利を適用する。
- 既知の配当と権利落ち日を含め、不確実、特別、減額、または中止された分配をストレステストする。
- Locate、借株可能性、料率、リベート、担保、リコール、強制買戻し、配当相当額の扱いを確認する。
- 欧州型と米国型を区別し、保有期間全体の早期行使と割当をモデル化する。
- 最終取引時刻、行使期限、現金または証券の計上を含む公式決済参照値と日程を使う。
- 委託手数料、取引所費用、税金、証拠金、資本使用、機会費用を含める。
- 一部約定、拒否されたレッグ、取引停止、古い気配、数量不足、レギングのエクスポージャーを管理する。
- 境界違反はまずデータ、契約、モデルの例外として扱い、裁定と呼ぶ前に全ポジションとキャッシュフローを照合する。
よくある誤解
- 「画面の境界違反は無料利益だ。」古い、交差した、片側だけの、または約定不能な気配がよくある原因です。
- 「本源的価値が常に下限だ。」割引、配当、行使方式によって適用境界は変わります。
- 「どの Call と Put でも比較できる。」権利と契約条件が完全に一致する必要があります。
- 「Mid のパリティが裁定を証明する。」必要な買いは Ask、売りは Bid で執行されます。
- 「無リスク金利が自分の資金調達率だ。」実際の借入、運用、担保、証拠金条件は異なり得ます。
- 「米国型と欧州型は同じ等式を使う。」早期行使権により単純な欧州型複製は崩れます。
- 「ボラティリティ・モデル値を下回れば無裁定違反だ。」モデル価値はキャッシュフロー境界より強く、仮定への依存も大きいものです。
- 「当初現金が正なら十分だ。」将来の資金調達、受渡し、行使、割当、決済義務も固定する必要があります。