Безарбитражные границы опционов: Call, Put и проверка паритета

Проверяйте сопоставимые котировки с помощью границ денежных потоков и паритета Put-Call, учитывая перенос, тип исполнения, исполнимые цены и условия контрактов.

Материал предназначен только для образовательных целей и не является инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Безарбитражные границы опционов — это ценовые неравенства, следующие из портфелей, которые доминируют или воспроизводят денежные потоки опциона. Для европейских Call и Put с одинаковыми условиями на акцию без дивидендов основные соотношения таковы:

max(0, S₀ − Ke^(−rT)) ≤ c ≤ S₀

max(0, Ke^(−rT) − S₀) ≤ p ≤ Ke^(−rT)

c − p = S₀ − Ke^(−rT)

Здесь c и p — текущие стоимости опционов, S₀ — спот-цена, K — страйк, r — неотрицательная ставка с непрерывным начислением, T — срок до экспирации. Для паритета Put-Call и границ должны совпадать право на базовый актив, страйк, экспирация, тип исполнения, предмет поставки и условия расчётов. Выход экранной котировки за границу требует проверки, но не доказывает наличие исполнимой безрисковой прибыли.

Почему границы выполняются

Держатель может отказаться от исполнения, поэтому длинный опцион не может иметь отрицательную стоимость. При этих предпосылках европейский Call не может стоить дороже акции, а европейский Put — дороже приведённой стоимости K.

Для нижней границы Call акцию сравнивают с Call и бескупонным требованием стоимостью Ke^(−rT). В момент экспирации пакет стоит max(S_T − K, 0) + K = max(S_T, K), то есть не меньше S_T. Акция вместе с Put имеет ту же доминирующую конечную стоимость. Закон единой цены даёт указанные неравенства; паритет следует из одинаковых конечных потоков акции с Put и Call с требованием на сумму страйка.

При детерминированной непрерывной дивидендной доходности q спот заменяется стоимостью предоплаченного форварда S₀e^(−qT):

max(0, S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)) ≤ c ≤ S₀e^(−qT)

max(0, Ke^(−rT) − S₀e^(−qT)) ≤ p ≤ Ke^(−rT)

c − p = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT)

Для известных дискретных денежных дивидендов используют приведённую стоимость выплат, право на которые принадлежит акционеру в течение срока опциона. Неопределённые дивиденды — оценки, а не зафиксированные потоки. Отрицательные ставки, ограничения на заём акций, налоги или разные кривые привлечения и размещения требуют строить границы из реально доступных коэффициентов дисконтирования, а не механически применять упрощённые формулы.

Американское исполнение меняет результат. При неотрицательной ставке и обычной акции без дивидендов полезны простые границы max(0, S₀ − K) ≤ C ≤ S₀ и max(0, K − S₀) ≤ P ≤ K. Европейское равенство Put-Call обычно неприменимо, поскольку любой американский опцион может быть исполнен досрочно.

Пример проверки нарушения

Пусть акция без дивидендов стоит $100, европейский Call сроком на год имеет K = $90, а PV(K) = $86. Нижняя граница Call равна $14. Если исполнимый Ask равен $5 и акцию действительно можно продать без покрытия по $100, учебная сделка выглядит так:

продать без покрытия одну акцию и получить +$100;
купить один Call за −$5;
вложить −$86 в бескупонное требование, которое выплатит $90 при экспирации.

Начальный приток денежных средств равен +$9. При экспирации остаточный поток составляет max(S_T − 90, 0) + 90 − S_T = max(90 − S_T, 0), поэтому он неотрицателен. При стандартном множителе 100 акций видимый начальный приток равен $900 до платы за заём акций, дивидендов, Bid-Ask Spread, комиссий, маржи, налогов и риска исполнения.

Для отдельной диагностики: если на экране c = $5 и p = $1, то c − p = $4, тогда как S₀ − PV(K) = $14; разрыв паритета равен $10. Но расчёт ещё не доказывает сделку: каждую ногу нужно оценить по правильной исполнимой стороне, синхронизировать, обеспечить достаточным объёмом и возможностью юридической и операционной поставки.

Контрольный список котировок

Точно сопоставить базовый актив или эталонное право, корень опциона, страйк, экспирацию, Call или Put и тип исполнения.
Проверить множитель, предмет поставки, корректировку на корпоративные действия, валюту и физические или денежные расчёты.
Использовать синхронные исполнимые Bid и Ask для направления и объёма каждой ноги, а не Last, Mark или Mid.
Согласовать время акции или форварда с котировками опционов и учесть различия торговых часов.
Применять соответствующий коэффициент дисконтирования, подсчёт дней, правило начисления и фактическую ставку привлечения или размещения.
Учесть известные дивиденды и экс-даты; проверить стрессом неопределённые, специальные, сниженные или отменённые выплаты.
Проверить locate, доступность и стоимость займа, rebate, обеспечение, отзыв, принудительный выкуп и компенсацию дивиденда.
Различать европейское и американское исполнение и моделировать досрочное исполнение и назначение в течение всего срока.
Использовать официальную расчётную величину и график, включая окончание торгов, крайний срок исполнения и зачисление денег или бумаг.
Учесть комиссии, биржевые сборы, налоги, маржу, использование капитала и альтернативные издержки.
Контролировать частичные исполнения, отклонённые ноги, приостановки, устаревшие котировки, недостаточный объём и риск исполнения по ногам.
Сначала считать нарушение исключением данных, контракта или модели; сверить все позиции и потоки, прежде чем называть его арбитражем.

Распространённые заблуждения

«Любое нарушение на экране — бесплатные деньги». Частые причины — устаревшие, пересечённые, односторонние или неисполнимые котировки.
«Внутренняя стоимость всегда является нижней границей». Применимую границу определяют дисконтирование, дивиденды и тип исполнения.
«Можно сравнить любые Call и Put». Права и условия контрактов должны точно совпадать.
«Паритет по Mid доказывает арбитраж». Каждая необходимая покупка совершается по Ask, а продажа — по Bid.
«Безрисковая ставка — это моя ставка финансирования». Реальные условия привлечения, размещения, обеспечения и маржи могут отличаться.
«Американские и европейские опционы используют одно равенство». Право досрочного исполнения нарушает простую европейскую репликацию.
«Цена ниже модели волатильности нарушает безарбитражность». Модельная стоимость строже и сильнее зависит от предпосылок, чем граница потоков.
«Положительного начального потока достаточно». Будущие финансирование, поставка, исполнение, назначение и расчёты тоже должны быть зафиксированы.