블랙-숄즈 모형: 공식, 가정과 내재변동성

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

Black-Scholes-Merton 모형은 특정 가정 아래 유럽형 옵션의 무차익 가치 기준을 제시합니다. 입력은 현재 기초자산 가격 S, 행사가 K, 잔존기간 T, 연속복리 무위험금리 r, 연속 배당수익률 q, 변동성 σ입니다.

C = Se^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)

P = Ke^(−rT)N(−d₂) − Se^(−qT)N(−d₁)

여기서 d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T), d₂ = d₁ − σ√T이고 N(x)는 표준정규 누적분포함수입니다.

동적 복제와 무차익 논리를 결합합니다. 이상적인 연속거래에서는 기초자산과 무위험 차입·대출로 옵션을 국소적으로 헤지해 기초자산의 기대수익률을 가격식에서 제거하고 위험중립 손익의 할인 기대값을 구합니다.

표준 가정에는 로그정규 가격, 일정한 변동성과 금리, 연속거래, 점프와 거래비용 없음, 필요한 거래와 차입 가능성이 포함됩니다. 위 공식은 연속 배당수익률과 유럽형 행사를 사용합니다. 이산배당과 미국형 행사는 조정 또는 수치모형이 필요합니다.

실무에서는 시장 옵션가격에서 σ를 역산합니다. 이 내재변동성은 선택한 모형과 시장가격을 일치시키는 입력입니다. 행사가와 만기별로 다른 IV가 나와 하나의 상수가 아니라 곡면을 형성합니다.

S = $100, K = $100, T = 1, r = 5%, q = 0%, σ = 20%로 둡니다.

d₁ = [0 + (0.05 + 0.20²/2)] / 0.20 = 0.35

d₂ = 0.35 − 0.20 = 0.15

N(0.35) ≈ 0.6368, N(0.15) ≈ 0.5596을 쓰면 콜 가치는 약 $10.45, 풋 가치는 약 $5.57입니다.

풋-콜 패리티로 계산을 확인합니다.

C − P = S − Ke^(−rT) ≈ $100 − $95.12 = $4.88

$10.45 − $5.57 = $4.88입니다. 반올림으로 작은 차이가 날 수 있습니다. 이는 모형 출력이며 체결가격이 아닙니다.