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이항 옵션 가격결정: 복제, 캐리, 조기행사와 수렴

재결합 옵션 트리를 구축하고 검증하며, 캐리와 할인을 분리하고 복제 포트폴리오로 노드 가치를 확인하여 조기행사, 수렴 및 체결 경계를 관리합니다.

업데이트

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다. 투자로 손실이 발생할 수 있습니다.

직접 답변

이항 모형은 기초자산 가격이 실제로 두 가지 움직임만 보인다고 예측하는 것이 아니라 이산 상태 격자에서 옵션을 평가합니다. 각 노드에서 상승계수 u 또는 하락계수 d를 적용하고 만기 계약 현금흐름을 계산한 뒤 현재로 후진 계산합니다. 단일 위험요인의 완비시장 가정에서는 동일한 노드 가치를 주식과 현금으로 구성한 국소 복제 포트폴리오로 확인할 수 있습니다.

길이 Delta t인 한 기간에 대해 자금조달 성장계수 B = exp(r Delta t)와 기초자산 캐리 성장계수 G = exp((r - q) Delta t)를 분리합니다. q가 연속 비례 수익률이면 무차익 가격결정 가중치는

p = (G - d) / (u - d)이며 d < G < u를 충족해야 합니다.

유럽형 계속가치는 V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B입니다. 보유자가 행사할 수 있는 노드에서 미국형 또는 버뮤다형 가치는 V = max(H,C)이며 H는 즉시행사 가치, C는 계속가치입니다. 이 틀은 기초자산 단위당 모형 가치를 산출합니다. 계약 승수, 수량, 공식 결제값, 체결 가능한 bid-ask, 수수료, 증거금 및 신용은 별도입니다.

옵션 유형
행사 방식
준비
가격결정 가중치
0.625
현재가치
US$8.90
헤지 비율
-0.426
조기 행사 노드
2

작동 원리

  1. 권리와 시계를 확정합니다. 정확한 기초자산과 옵션 시리즈, 콜 또는 풋, 행사가, 평가 시각, 만기와 일수계산, 행사일과 행사방식, 공식 결제, 승수, 인도물, 통화, 배당, 차입, 조정조건 및 출력단위를 기록합니다.
  2. 격자를 선택하고 문서화합니다. N, Delta t = T / N 및 모수화를 설정합니다. 일반적인 CRR 선택은 u = exp(sigma sqrt(Delta t))와 d = 1 / u입니다. 다른 트리는 다른 적률을 맞추며 수렴 특성도 달라질 수 있습니다.
  3. 캐리와 할인을 분리합니다. 모형과 일관된 무이표금리로 B = exp(r Delta t)를, 연속 캐리로 G = exp((r - q) Delta t)를 만들고 p = (G - d) / (u - d)를 계산합니다. 알려진 현금배당은 배당락 노드에서 명시적으로 처리해야 하며 단순 재결합을 깨뜨릴 수 있습니다.
  4. 상태와 만기 청구권을 구축합니다. 계수가 일정한 재결합 트리에서는 S(i,j) = S0 u^j d^(i-j)입니다. 계약의 콜, 풋, 현금, 실물, 조정 인도물, 배리어, 평균 또는 기타 만기 규칙을 공식 상태변수에 적용합니다. 경로의존 상품에는 추가 상태가 필요합니다.
  5. 후진 계산하고 행사를 검토합니다. 모든 노드에서 위험중립 자식노드 가치를 할인합니다. 유럽형은 계속가치를 사용하고, 미국형은 허용된 매 시점에 H와 C를 비교하며, 버뮤다형은 계약상 행사일에만 비교하고 통지와 결제 시점을 준수합니다.
  6. 복제와 수치를 검증합니다. 각 1기간 노드에서 Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d)와 현금 포지션 b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)]를 계산합니다. 상태별 지급, 가격경계, 풋-콜 패리티, 단계 배증, 홀짝 진동, 다른 트리, 독립 구현 및 행사경계를 점검합니다.
  7. 모형 출력을 계좌에 연결합니다. 금리곡선, 배당, 주식차입 및 행사가-만기 변동성 표면을 보정하고 실제 승수와 수량으로 단위당 가치를 환산하며 체결 가능한 bid와 ask를 비교합니다. 사용 전 이산 헤지, 갭, 비용, 유동성, 증거금, 배정, 결제, 세금 및 모형 버전을 스트레스 테스트합니다.

계산 예시

  • 1기간 복제. S0 = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05, 유럽형 콜의 K = $100으로 둡니다. 그러면 p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625, 만기 지급은 $20/$0, C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762입니다. 복제는 Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50과 b = -$38.095238을 줍니다. 상승상태 포트폴리오는 $60 - $40 = $20, 하락상태는 $40 - $40 = $0를 지급하며 초기비용은 $50 - $38.095238 = $11.904762입니다.
  • 미국형 풋과 조기행사. S0 = $100, K = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05인 2단계 트리를 사용하면 p = 0.625입니다. 주가 $144/$96/$64에서 만기 풋 지급은 $0/$4/$36입니다. 첫 상승노드의 계속가치는 [0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571로 내재가치 $0보다 높습니다. 첫 하락노드의 계속가치는 [0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095로 즉시행사 $20보다 낮으므로 행사합니다. 미국형 가치는 $7.993197, 유럽형 가치는 $6.292517, 이산 조기행사 프리미엄은 $1.700680입니다.
  • 캐리와 비단조 수렴. S0 = $100, K = $100, T = 1, 연속복리 r = 5%, 연속 수익률 q = 2%, 연율 sigma = 20%로 둡니다. CRR 유럽형 콜은 1단계에서 $11.073541, 2단계 $8.342293, 3단계 $9.855621, 4단계 $8.760327, 64단계 $9.196691로, 일치하는 Black-Scholes-Merton 가치 $9.227006에 접근합니다. 단계 증가는 이 모형에서 극한 근사를 개선하지만 단조적일 필요가 없고 잘못된 현금흐름 입력을 고치지 못합니다.
  • 모형 가치와 체결 가능한 계좌금액. 첫 예시의 주당 모형 가치 $11.904762를 사용하되 체결 가능 시장이 $11.60 bid / $12.20 ask라고 가정합니다. M = 100, Q = 1인 표준계약 1개 매수비용은 $12.20 x 100 = $1,220, 모형금액은 $11.904762 x 100 = $1,190.4762로 수수료 전 차이는 $29.5238입니다. 즉시 bid에 매도하면 $11.60 x 100 = $1,160을 회수해 왕복손실이 $60입니다. 모형 Delta = 0.50은 이 승수 가정에서 50주에 해당하지만 이산 재헤지, 갭, 차입 및 체결 때문에 복제 결과는 보장되지 않습니다.

모형 및 수명주기 점검표

  • 정확한 기초자산, 옵션 루트, 콜 또는 풋, 행사가, 만기, 행사방식, 결제, 승수, 통화 및 인도물을 일치시킵니다.
  • 평가 시각, 달력, 시간대, 연수비율, 단계 수, 노드 날짜 및 영업일 처리를 확정합니다.
  • 트리 모수화와 적률, 캐리, 스큐 또는 기타 보정목표가 의도한 모형에 맞는지 명시합니다.
  • 배당, 외화금리, 편의수익 또는 주식차입비용이 중요하면 할인용 B와 기초자산 캐리용 G를 분리합니다.
  • d < G < u를 요구합니다. p가 [0,1] 밖이면 무차익 설정 실패이지 예측확률이 아닙니다.
  • 연속 수익률 q를 알려진 이산·특별·불확실·경로의존 분배와 구분합니다.
  • 공식 결제, 현금 또는 실물 인도, 조정계약 및 기업행동에 맞춰 만기 지급을 검증합니다.
  • 배리어, 평균, 룩백, 다중자산, 확률변동성, 금리, 신용 또는 기타 경로의존에 충분한 상태를 추가합니다.
  • 계약상 권리보유자에게만 유효한 통지마감 전 허용된 날짜에 조기행사를 적용합니다.
  • 미국형, 버뮤다형 및 유럽형 행사기회 집합을 현금, 실물 또는 선물결제와 구분합니다.
  • H가 C보다 큰 모든 노드를 기록하고 배당, 금리, 차입 및 수치 설정에 대한 행사경계 민감도를 시험합니다.
  • 시장가정이 완비성을 뜻하는 경우 노드 복제와 상태별 지급을 검증하되 실무에서 무비용 연속헤지를 가정하지 않습니다.
  • 가격을 신뢰하기 전에 무차익 경계, 패리티, 단조성, 볼록성 및 극한사례를 점검합니다.
  • 여러 단계 수, 홀수·짝수 수열, 단계 배증, 다른 모수화 및 독립 구현을 비교합니다.
  • 진동, 안정적으로 보이는 소수점 또는 연관 코드경로의 일치를 정확성 증거로 보지 않습니다.
  • 관련된 전체 변동성 표면과 곡선을 보정합니다. 하나의 역사적 변동성 또는 ATM 호가는 보편적이지 않습니다.
  • 모형 가치, 이론 중간값, 거래소 마크, 공식 결제, 체결 가능한 bid, 체결 가능한 ask 및 청산가격을 구분합니다.
  • 단위당 출력을 실제 승수와 수량으로 환산합니다. 조정 또는 비표준 계약은 100을 사용하지 않을 수 있습니다.
  • bid-ask, 부분체결, 이산 헤지시점, 점프, 거래중단, 유동성, 자금조달, 차입, 증거금, 배정 및 브로커 청산을 스트레스 테스트합니다.
  • 입력, 시장자료 출처, 기업행동 및 배당 버전, 코드와 솔버 버전, 수렴증거, 승인, 비용, 세금 및 최종 계좌대사를 보존합니다.

흔한 오해

  • “위험중립확률은 다음 움직임을 예측한다.” p는 특정 거래가능자산과 무차익 가정 아래 모형과 일관된 가격결정 가중치이며 실제확률 예측이 아닙니다.
  • “무위험 성장계수는 항상 두 공식 모두에 들어간다.” 할인에는 B, 기초자산 가격결정 가중치에는 캐리계수 G를 쓰며 단순화된 무수익률 설정에서만 같습니다.
  • “단계가 많으면 올바른 가격이 보장된다.” 세분화는 한 모형의 이산화만 개선합니다. 수렴은 진동할 수 있고 잘못된 배당, 변동성, 결제 또는 행사조건을 고치지 못합니다.
  • “미국형 가치는 유럽형 가치에 고정 프리미엄을 더한 것이다.” 조기행사 가치는 상태, 날짜, 금리, 배당, 차입 및 모형에 따라 달라지고 0일 수도 있습니다.
  • “복제가 화면가격을 무위험으로 만든다.” 증명은 모형 완비성과 무마찰 거래를 가정합니다. 체결 스프레드, 이산 헤지, 갭, 자금, 증거금, 세금 및 결제 위험은 남습니다.

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