이항 옵션 가격결정: 복제, 위험중립 평가와 조기행사

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

이항 옵션 가격결정 모형은 시간을 여러 단계로 나누고 각 단계에서 기초자산이 상승 또는 하락 값으로 이동한다고 가정합니다. 마지막 노드의 손익을 계산한 뒤 현재까지 거꾸로 평가합니다. 복제와 조기행사 결정을 명확히 보여 준다는 장점이 있습니다.

가격이 실제로 두 방향으로만 움직인다는 예측은 아닙니다. 단계 수를 늘리면 근사가 세밀해지지만 잘못된 변동성, 배당, 금리, 행사 또는 결제 입력은 고치지 못합니다.

위험중립 후진 귀납

한 단계 상승 및 하락 배수를 u, d, 무위험 성장계수를 R이라 합니다. d < R < u일 때 위험중립 상승확률은:

p = (R − d) / (u − d)

유럽형 노드가치 V_u, V_d의 현재가치는:

V_0 = [pV_u + (1 − p)V_d] / R

p는 가격결정 가중치이며 실제 또는 예상 상승확률이 아닙니다. R이 (d, u) 밖이면 단순 트리의 무차익 설정을 위반합니다.

각 미국형 노드에서는 다음을 비교합니다.

V = max(내재가치, 계속가치의 할인 기대값)

이산배당, 변동금리, 변동성 기간구조와 복수 행사일은 트리를 조정해 반영할 수 있습니다. 경로의존 계약은 추가 상태변수가 필요해 규모가 빠르게 커집니다.

단일기간 콜 예시

주가가 $100이고 한 기간 뒤 $120 또는 $80, 행사가가 $100, 무위험 성장계수가 1.05라고 가정합니다. 콜의 만기 손익은 $20 또는 $0입니다.

p = (1.05 − 0.80) / (1.20 − 0.80) = 0.625

C_0 = [0.625 × $20 + 0.375 × $0] / 1.05 ≈ $11.90

복제도 같은 답을 줍니다. 헤지비율은 (20 − 0) / (120 − 80) = 0.5주입니다. 현재 약 $38.10을 빌리면 한 기간 뒤 $40이 되어 포트폴리오는 상승 상태에서 $20, 하락 상태에서 $0을 지급합니다. 초기비용은 $50 − $38.10 = $11.90입니다.

배당, 거래비용, 스프레드, 세금과 이산 헤지는 제외했으므로 모형가치는 체결 보장가격이 아닙니다.

모형 점검표

행사방식, 만기, 결제, 승수와 기업행동 조건을 일치시킵니다.
금리, 배당과 변동성을 동일한 단계 길이와 복리 기준으로 변환합니다.
d < R < u와 최종 손익 구현을 확인합니다.
단계 수를 늘려 수렴을 확인합니다. 행사가나 장벽 근처에서 진동할 수 있습니다.
하나의 이산화만 신뢰하지 말고 다른 트리 모수화를 비교합니다.
미국형은 행사가 계속보다 유리한 노드를 기록하고 배당 가정을 검토합니다.
시장 경계와 독립 방법으로 확인하고 위반 시 원인을 먼저 조사합니다.
체결 스프레드, 수수료, 헤지빈도와 유동성을 거래 판단에 반영합니다.

흔한 오해

“위험중립 확률은 주가 상승확률이다.” 무차익 가격결정 가중치입니다.
“단계가 많으면 반드시 정확하다.” 잘못된 입력이나 모형은 고치지 못합니다.
“트리가 각 경로를 예측한다.” 모형 상태에서 조건부 현금흐름을 평가합니다.
“미국형은 항상 유럽형보다 훨씬 비싸다.” 조기행사 프리미엄이 0일 수 있습니다.
“모형가격은 시장 중간값과 같다.” 수급, 스프레드, 왜도와 관행이 다릅니다.
“실제 복제도 비용이 없다.” 스프레드, 수수료, 조달과 갭 위험이 있습니다.

권위 있는 출처

단순화한 옵션 가격결정법 - Cox, Ross와 Rubinstein
표준화 옵션의 특성과 위험 - OCC
옵션 계산기 - Cboe Options Institute