Black-Scholes 模型：公式、假设与隐含波动率

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直接答案

Black-Scholes-Merton 模型在一组特定假设下，为欧式期权提供无套利价值基准。输入包括当前标的价格 S、执行价 K、剩余期限 T、连续复利无风险利率 r、连续股息率 q 和波动率 σ。

欧式 Call 和 Put 的公式为：

C = Se^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)

P = Ke^(−rT)N(−d₂) − Se^(−qT)N(−d₁)

其中 d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)，d₂ = d₁ − σ√T，N(x) 是标准正态累积分布函数。

模型结合动态复制与无套利推理。在理想化的连续交易下，可用标的和无风险借贷对期权进行局部对冲，从定价方程中消去标的预期收益率，得到风险中性支付的折现期望。

标准假设包括价格服从对数正态分布、波动率和利率恒定、连续交易、没有跳空和交易成本，并可按需交易与借贷。上述公式采用连续比例股息率和欧式行权；离散股息及美式行权需要调整或数值模型。

实际中常从市场期权价格反解 σ。该隐含波动率是在所选模型下与市场价格一致的波动率输入。不同执行价和到期日通常得到不同 IV，形成波动率曲面而非一个常数。

设 S = $100、K = $100、T = 1、r = 5%、q = 0%、σ = 20%，则：

d₁ = [0 + (0.05 + 0.20²/2)] / 0.20 = 0.35

d₂ = 0.35 − 0.20 = 0.15

使用 N(0.35) ≈ 0.6368 和 N(0.15) ≈ 0.5596，Call 价值约为 $10.45，Put 约为 $5.57。

Put-Call 平价可核验计算：

C − P = S − Ke^(−rT) ≈ $100 − $95.12 = $4.88

$10.45 − $5.57 = $4.88。四舍五入会造成微小差异。这些是模型输出，不是可成交报价。