随机波动率模型：随机方差、风险溢价与微笑动态

仅供教育参考，不构成投资建议

直接答案

随机波动率模型把资产的瞬时方差设为随机状态变量，而不是常数或现货与时间的确定函数。一个通用的连续双因子形式为：

dS_t = μ_t S_t dt + √v_t S_t dW_t^S

dv_t = a(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^v，且 dW_t^S dW_t^v = ρ_t dt

额外的方差冲击可以产生时变波动率、聚集、均值回归、偏斜和更丰富的微笑动态。模型并没有让波动率变得“已知”，而是规定一套概率规律，其参数和风险中性版本仍须估计或校准。

这是一类模型，不是一个公式。Heston 使用均值回归平方根方差过程；SABR 让远期和其波动率共同演化；远期方差模型直接描述方差期限结构；粗糙波动率模型使用非马尔可夫记忆。每种选择拟合和对冲的特征不同，也带来不同的数值与模型风险。

历史收益在实际测度 P 下建模；无套利期权估值使用风险中性测度 Q。方差冲击不可交易时，股票和现金通常不能覆盖全部不确定性，市场并不完备，因此仅靠无套利无法唯一确定方差风险溢价或方差在 Q 下的漂移。

示意地，同一方差状态在 P 下可能为：

dv_t = a_P(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,P}

而在 Q 下为：

dv_t = a_Q(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,Q}

a_P 与 a_Q 的差异包含对波动率风险的补偿。从历史收益估计 P 参数后原样放入期权定价器，相当于没有说明便消除了这个差别。

相关系数 ρ 连接收益与方差冲击。在股票模型中，风险中性相关性拟合为负值通常有助于产生更贵的下行 Put。波动率的波动率控制未来方差的离散程度并影响微笑曲率；均值回归塑造期限结构。这些解释都有条件：参数相互作用，多组参数可能生成相近的普通期权价格。

校准是在一个时点尽量减小不同行权价和到期日的误差；风险模型还必须说明拟合后的曲面如何响应现货、时间和波动率冲击。两个模型可以同时匹配今天的普通期权，却给出不同的障碍期权价值、远期偏斜、对冲比率和次日损益。因此，微笑动态和样本外对冲必须与校准误差分别验证。

假设当前方差为 v₀ = 0.04，因此当前瞬时波动率为 √0.04 = 20%。为说明区别，假设方差在两种测度下都做均值回归：

E[v_T] = θ + (v₀ − θ)e^(−κT)

使用以下假设参数：

测度	`κ`	`θ`	六个月 `E[v_0.5]`
实际测度 `P`	`1`	`0.04`	`0.04`
风险中性测度 `Q`	`2`	`0.0625`	`0.05422`

在 P 下：

0.04 + (0.04 − 0.04)e^(−1×0.5) = 0.04

在 Q 下：

0.0625 + (0.04 − 0.0625)e^(−2×0.5) = 0.05422

两者的平方根分别是 20% 和 23.29%。这个差异不是期权利润预测，也无法从单次观察识别风险溢价；它说明从期权校准得到的风险中性方差期限结构不能改名为预期实现波动率。

而且一般有 √E[v_T] ≠ E[√v_T]。本例报告的是预期方差的平方根，不是预期波动率。完整期权价值取决于方差的分布与路径、它和收益的相关性以及合约收益，而不只是这个均值。