隨機波動率模型：隨機變異數、風險溢價與微笑動態

僅供教育參考，不構成投資建議

直接答案

隨機波動率模型把資產的瞬時變異數設為隨機狀態變數，而非常數或現貨與時間的確定函數。通用的連續雙因子形式為：

dS_t = μ_t S_t dt + √v_t S_t dW_t^S

dv_t = a(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^v，且 dW_t^S dW_t^v = ρ_t dt

額外的變異數衝擊可產生時變波動率、聚集、均值回歸、偏斜和更豐富的微笑動態。模型沒有讓波動率變得「已知」，而是規定機率法則，其參數與風險中性版本仍須估計或校準。

這是一類模型，不是一個公式。Heston 使用均值回歸平方根變異數過程；SABR 讓遠期及其波動率共同演化；遠期變異數模型直接描述變異數期限結構；粗糙波動率模型使用非馬可夫記憶。各選擇擬合和避險的特徵不同，也有不同數值與模型風險。

歷史報酬在實際測度 P 下建模；無套利選擇權估值使用風險中性測度 Q。變異數衝擊不可交易時，股票與現金通常不能涵蓋所有不確定性，市場並不完備，因此無套利本身無法唯一決定變異數風險溢價或變異數在 Q 下的漂移。

示意地，同一變異數狀態在 P 下可能為：

dv_t = a_P(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,P}

而在 Q 下為：

dv_t = a_Q(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,Q}

a_P 與 a_Q 的差異包含波動率風險補償。從歷史報酬估計 P 參數後原樣放入選擇權定價器，等於未加說明便消除這個差別。

相關係數 ρ 連結報酬與變異數衝擊。股票模型的風險中性相關性擬合為負值，通常有助於產生更貴的下行 Put。波動率的波動率控制未來變異數的離散程度並影響微笑曲率；均值回歸塑造期限結構。這些解釋都有條件：參數相互作用，多組參數可能產生相近的普通選擇權價格。

校準是在一個時點減少各履約價和到期日的誤差；風險模型還須說明擬合後曲面如何回應現貨、時間和波動率衝擊。兩個模型可以同時匹配今天的普通選擇權，卻給出不同障礙價值、遠期偏斜、避險比率和次日損益。因此微笑動態與樣本外避險應和校準誤差分開驗證。

假設目前變異數為 v₀ = 0.04，目前瞬時波動率為 √0.04 = 20%。為說明差別，假設變異數在兩種測度下均做均值回歸：

E[v_T] = θ + (v₀ − θ)e^(−κT)

使用以下假設參數：

測度	`κ`	`θ`	六個月 `E[v_0.5]`
實際測度 `P`	`1`	`0.04`	`0.04`
風險中性測度 `Q`	`2`	`0.0625`	`0.05422`

在 P 下：

0.04 + (0.04 − 0.04)e^(−1×0.5) = 0.04

在 Q 下：

0.0625 + (0.04 − 0.0625)e^(−2×0.5) = 0.05422

平方根分別是 20% 和 23.29%。差異不是選擇權獲利預測，也不能從單次觀察識別風險溢價；它說明從選擇權校準的風險中性變異數期限結構不能改稱為預期實現波動率。

而且一般有 √E[v_T] ≠ E[√v_T]。本例報告預期變異數的平方根，不是預期波動率。完整選擇權價值取決於變異數的分布和路徑、它與報酬的相關性及合約損益，不只這個均值。