확률 변동성 모형: 무작위 분산, 위험 프리미엄과 스마일 동학

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

확률 변동성 모형은 자산의 순간 분산을 상수 또는 현물과 시간의 결정론적 함수가 아니라 무작위 상태변수로 둡니다. 일반적인 연속 2요인 표현은:

dS_t = μ_t S_t dt + √v_t S_t dW_t^S

dv_t = a(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^v, 그리고 dW_t^S dW_t^v = ρ_t dt

추가 분산 충격은 시변 변동성, 군집, 평균회귀, 스큐와 더 풍부한 스마일 동학을 만들 수 있습니다. 변동성이 “알려지는” 것이 아니라 확률법칙을 지정하며, 그 매개변수와 위험중립 버전을 추정하거나 보정해야 합니다.

이는 하나의 공식이 아니라 모형 계열입니다. Heston은 평균회귀 제곱근 분산 과정, SABR은 선도와 그 변동성, 선도분산 모형은 분산 기간구조, 러프 변동성 모형은 비 Markov 기억을 다룹니다. 선택마다 적합·헤지 대상과 수치·모형 위험이 다릅니다.

실제 동학은 가격결정 동학이 아니다

과거 수익률은 실제 측도 P, 무차익 옵션 가치는 위험중립 측도 Q에서 모형화합니다. 거래할 수 없는 분산 충격이 있으면 주식과 현금만으로 모든 불확실성을 복제할 수 없어 시장은 일반적으로 불완전합니다. 따라서 무차익만으로 분산 위험 프리미엄이나 Q에서의 분산 드리프트를 유일하게 정할 수 없습니다.

같은 분산 상태도 P에서는:

dv_t = a_P(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,P}

Q에서는:

dv_t = a_Q(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,Q}

일 수 있습니다. a_P와 a_Q의 차이에 변동성 위험 보상이 들어갑니다. 수익률에서 추정한 P 매개변수를 가격결정기에 그대로 넣으면 이 차이를 설명 없이 없애는 셈입니다.

상관계수 ρ는 수익률과 분산 충격을 연결합니다. 주식 모형에서 위험중립 상관이 음수로 보정되면 더 비싼 하방 Put을 만드는 데 도움이 됩니다. Vol-of-Vol은 미래 분산의 퍼짐과 스마일 곡률, 평균회귀는 기간구조를 형성합니다. 그러나 매개변수는 상호작용하며 여러 조합이 비슷한 vanilla 가격을 만들 수 있습니다.

정적 적합과 동학

보정은 한 시점의 행사가·만기별 오차를 줄입니다. 위험 모형은 현물, 시간과 변동성 충격 후 표면이 어떻게 변하는지도 규정해야 합니다. 오늘의 vanilla를 똑같이 맞추는 두 모형도 배리어 가치, 선도 스큐, 헤지 비율과 다음 날 손익은 다를 수 있습니다. 스마일 동학과 표본 외 헤지는 보정 오차와 별도로 검증합니다.

예시: 같은 현재 분산, 두 측도

현재 분산이 v₀ = 0.04라서 순간 변동성이 √0.04 = 20%라고 가정합니다. 설명을 위해 두 측도 모두 평균회귀한다고 둡니다.

E[v_T] = θ + (v₀ − θ)e^(−κT)

가상의 매개변수는:

측도	`κ`	`θ`	6개월 `E[v_0.5]`
실제 측도 `P`	`1`	`0.04`	`0.04`
위험중립 측도 `Q`	`2`	`0.0625`	`0.05422`

P에서는:

0.04 + (0.04 − 0.04)e^(−1×0.5) = 0.04

Q에서는:

0.0625 + (0.04 − 0.0625)e^(−2×0.5) = 0.05422

제곱근은 각각 20%와 23.29%입니다. 이 차이는 옵션 이익 예측도, 한 번의 관측으로 위험 프리미엄을 식별한 것도 아닙니다. 옵션에서 보정한 위험중립 분산 기간구조를 예상 실현변동성이라고 바꿔 부를 수 없음을 보여줍니다.

또한 일반적으로 √E[v_T] ≠ E[√v_T]입니다. 이 예시는 기대분산의 제곱근이지 기대변동성이 아닙니다. 전체 옵션 가치는 분산의 분포와 경로, 수익률과의 상관, 페이오프에 의존합니다.

모형 선택과 검증

확률방정식, 측도, 상태변수, 매개변수 단위, 경계 행동과 상관구조를 명시합니다.
P에서 수익률로 추정한 매개변수와 Q에서 옵션 가격으로 보정한 것을 분리합니다.
동기화된 실행 가능 호가, 선도, 할인계수, 배당과 계약 조건을 사용합니다.
Bid-Ask 또는 Vega 같은 경제적 중요도로 오차를 가중하고 만기와 날개별로 검사합니다.
여러 초깃값에서 최적화하고 거의 동등한 매개변수 조합을 보고합니다.
양수성, 모멘트 조건, 시뮬레이션 편향, 이산화, 변환 적분과 분기 처리를 확인합니다.
모든 보정 상품을 재평가하고 IV RMSE뿐 아니라 시장 스프레드와 오차를 비교합니다.
미래 표면 이동, 헤지 손익과 매개변수 안정성을 표본 밖에서 검증합니다.
가격 점프, 이벤트 분산, 상관 붕괴, Vol-of-Vol 급등과 유동성 상실을 스트레스합니다.
실제 페이오프에 대해 Heston, local vol, stochastic local vol, jump, rough를 비교합니다.
미국형 행사, 이산 배당, 배리어와 경로의존에는 적절한 수치법을 사용합니다.
거래비용, 이산 재헤지, 자금조달, 배정과 거래 불가능한 헤지 수단을 포함합니다.
의도적으로 뺀 위험을 기록합니다. 정밀 보정도 누락 위험을 줄이지 않습니다.

흔한 오해

“확률 변동성은 변동성을 예측한다.” 모형과 매개변수 선택 후의 조건부 동학입니다.
“과거 분산 매개변수로 옵션을 가격결정할 수 있다.” 일반적으로 위험중립 동학과 위험 프리미엄이 필요합니다.
“vanilla를 완벽히 맞추면 모형이 맞다.” 정적 적합은 경로나 헤지 행동을 식별하지 않습니다.
“요인이 많을수록 항상 정확하다.” 불안정, 과적합과 헤지 불가능한 매개변수 위험도 늘어납니다.
“확률 변동성은 폭락을 포함한다.” 연속 모형은 가격과 분산 점프를 빠뜨릴 수 있습니다.
“위험중립 기대분산은 시장 예측이다.” 위험 프리미엄을 포함하는 가격결정 대상입니다.
“보정 매개변수마다 하나의 경제 의미가 있다.” 서로 보상하고 식별이 약할 수 있습니다.