Dupire 局部波动率：从期权曲面反推扩散过程
仅供教育参考，不构成投资建议
Dupire 局部波动率是从无套利欧式期权价格曲面反推出的、由资产水平和时间决定的确定函数。它寻找瞬时扩散率 σ_loc(S,t)，使一个连续的风险中性价格过程能够重现今天不同执行价和期限的 Call 价格。
它是校准模型，不是实现波动率或股票方向预测。理论上精确匹配今天的香草期权曲面，也不代表明天的微笑动态、奇异期权价格和对冲结果正确。
在连续无风险利率 r 和股息率 q 下，局部波动率过程可写为：
dS_t = (r−q)S_t dt + σ_loc(S_t,t)S_t dW_t。
令 C(K,T) 为足够平滑的欧式 Call 价格曲面，一种常见 Dupire 形式为：
σ_loc²(K,T) = [∂_T C + (r−q)K∂_K C + qC] / [0.5K²∂²_K C]。
分母包含 Call 对执行价的二阶导数，它与折现后的风险中性终值密度相关。因此 Call 价格必须随执行价下降且保持凸性，曲面还须满足适当日历约束。公式变体取决于折现、远期、股息和坐标口径，输入单位必须与所用推导一致。
局部波动率不是隐含波动率。隐含波动率是重现某一张期权价格的单个 Black-Scholes 输入；局部波动率是模拟路径到达状态 (S,t) 时使用的瞬时扩散系数。纯局部波动率模型在该状态只有一个指定波动率，随机波动率模型则可在相同现价和时间对应多个方差状态。
示意导数计算
Section titled “示意导数计算”在 K=$100、T=0.5 年处，假设一个平滑无套利 Call 曲面给出：
C=7.00，∂_T C=8.50/年。∂_K C=−0.45，∂²_K C=0.018/美元平方。- 连续复利
r=4%、q=1%。
分子为 8.50 + (0.04−0.01)×100×(−0.45) + 0.01×7.00 = 7.22，分母为 0.5×100²×0.018 = 90。所以 σ_loc²≈7.22/90≈0.0802，σ_loc≈28.3%。
这些导数是拟合曲面的示意值，不能直接用相邻期权链报价作差。市场报价离散、不同步且有噪声，执行价二阶导数会放大小误差；负数或接近零的分母会产生负、无限大或不稳定的局部方差。
可靠流程应清洗同步报价，估算贴现因子和远期，拟合不存在蝶式或日历套利的平滑曲面，再求导并施加边界控制，最后通过 PDE 或模拟重定价输入期权。重估价格应接近可成交市场范围，而不仅是选择性的中间价。
校准检查清单
Section titled “校准检查清单”- 使用欧式期权或有依据的欧式化流程；美式股票期权包含提前行权价值。
- 在定义 Moneyness 前，用利率、股息和 Put-Call Parity 一致地推算远期。
- 跨多个执行价和期限拟合价格或总方差，并明确加入无静态套利约束。
- 检查执行价单调性和凸性、日历顺序、正密度与正局部方差。
- 对照 Bid/Ask，移除过时或交叉报价，并记录稀疏尾部的外推规则。
- 扰动一个报价、远期、股息、节点、插值规则和网格步长，测量不稳定性。
- 重估所有校准工具，并保留部分执行价或期限作验证集。
- 比较 PDE 和 Monte Carlo 输出，尤其关注短期限和边界。
- 即使香草期权重估精确，也把障碍等路径依赖产品视为模型依赖价格。
- 用其他微笑动态、随机波动率和跳跃模型评估对冲行为。
- “局部波动率就是该执行价的 IV。”两者定义不同，数值无需相等。
- “精确校准香草期权证明模型正确。”它只建立静态一致性，不证明动态真实。
- “原始期权链数字能直接代入公式。”求导前必须平滑并控制套利。
- “负局部方差描述了市场。”它通常表示输入、套利、插值或数值不稳定问题。
- “反推曲面能预测未来实现波动率。”它是依据当前期权价格校准的风险中性量。
- “一个校准模型能给出正确障碍期权价格。”路径和微笑动态带来显著模型风险。