二叉树期权定价：复制、风险中性估值与提前行权

仅供教育参考，不构成投资建议

直接答案

二叉树期权定价模型把时间分为多个步骤，并假设标的每一步到达上涨或下跌节点。模型先计算最终节点收益，再反向推回当前价值。它能把复制组合和提前行权决策直观呈现，而不是藏在封闭公式中。

它是数值框架，并非预测价格真的只有两种变化。增加步数能细化近似，但无法修复错误的波动率、股息、利率、行权或结算输入。

设单步上涨和下跌乘数为 u、d，单步无风险增长因子为 R。当 d < R < u 时，无套利风险中性上涨概率为：

p = (R − d) / (u − d)

对于欧式节点价值 V_u 和 V_d，当前价值为：

V_0 = [pV_u + (1 − p)V_d] / R

p 是定价权重，不是观察到或预测的上涨概率。若 R 不在 (d, u) 内，简单树不满足其无套利设定。

在每个美式节点，比较立即行权和继续持有：

V = max(内在价值, 继续持有价值的折现期望)

离散股息、变化的利率、波动率期限结构和多个行权日可通过调整树来纳入。路径依赖合约可能需要额外状态变量，使树规模迅速增长。

假设股票为 $100，一期后涨至 $120 或跌至 $80，执行价为 $100，无风险增长因子为 1.05。Call 到期收益分别是 $20 和 $0。

p = (1.05 − 0.80) / (1.20 − 0.80) = 0.625

C_0 = [0.625 × $20 + 0.375 × $0] / 1.05 ≈ $11.90

复制组合得到相同答案。对冲比率为 (20 − 0) / (120 − 80) = 0.5 股。当前借入约 $38.10，一期后负债为 $40，组合在上涨状态支付 $20、下跌状态支付 $0。初始成本为 $50 − $38.10 = $11.90。

示例未包含股息、交易成本、价差、税费和离散对冲。因此模型价值是比较基准，不是保证成交价。