確率的ボラティリティ・モデル：ランダム分散、リスクプレミアム、スマイル動学

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

確率的ボラティリティ・モデルは、資産の瞬間分散を定数やスポットと時間の決定論的関数ではなく、ランダムな状態変数にします。一般的な連続二因子表現は：

dS_t = μ_t S_t dt + √v_t S_t dW_t^S

dv_t = a(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^v、かつ dW_t^S dW_t^v = ρ_t dt

追加された分散ショックは、時変ボラティリティ、クラスタリング、平均回帰、スキュー、より豊かなスマイル動学を作れます。ボラティリティが「既知」になるのではなく、確率法則を規定し、そのパラメーターとリスク中立版を推定・較正します。

これは一つの式でなくモデル群です。Heston は平均回帰する平方根分散過程、SABR はフォワードとそのボラティリティ、フォワード分散モデルは分散期間構造、ラフボラティリティは非 Markov 的記憶を扱います。選択ごとにフィット、ヘッジ、数値リスク、モデルリスクが異なります。

実測動学と価格付け動学は異なる

過去リターンは実測度 P、無裁定オプション評価はリスク中立測度 Q で扱います。取引できない分散ショックがあれば、株式と現金だけでは全不確実性を張れず、市場は一般に不完備です。そのため、無裁定だけでは分散リスクプレミアムや Q での分散ドリフトを一意に決められません。

同じ分散状態でも P では：

dv_t = a_P(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,P}

Q では：

dv_t = a_Q(v_t,t)dt + b(v_t,t)dW_t^{v,Q}

となり得ます。a_P と a_Q の差にボラティリティ・リスクへの補償が含まれます。リターンから推定した P パラメーターをそのまま価格モデルに入れると、この違いを暗黙にゼロと仮定します。

相関 ρ はリターンと分散のショックを結びます。株式モデルでリスク中立相関が負に較正されると、下方 Put が高いスキューを作りやすくなります。Vol-of-Vol は将来分散の広がりとスマイル曲率、平均回帰は期間構造に影響します。ただしパラメーターは相互作用し、複数組が似た vanilla 価格を作れます。

静的フィットと動学

較正は一時点のストライク・満期横断誤差を減らします。リスクモデルは、スポット、時間、ボラティリティのショック後にサーフェスがどう動くかも規定します。今日の vanilla に同じく合う二モデルでも、バリア価値、フォワード・スキュー、ヘッジ比率、翌日損益は異なり得ます。スマイル動学と標本外ヘッジは較正誤差と別に検証します。

例：同じ現在分散、二つの測度

現在分散を v₀ = 0.04、瞬間ボラティリティを √0.04 = 20% とします。説明用に両測度で平均回帰を仮定します。

E[v_T] = θ + (v₀ − θ)e^(−κT)

仮想パラメーターは：

測度	`κ`	`θ`	6か月 `E[v_0.5]`
実測度 `P`	`1`	`0.04`	`0.04`
リスク中立測度 `Q`	`2`	`0.0625`	`0.05422`

P では：

0.04 + (0.04 − 0.04)e^(−1×0.5) = 0.04

Q では：

0.0625 + (0.04 − 0.0625)e^(−2×0.5) = 0.05422

平方根はそれぞれ 20% と 23.29% です。これはオプション利益予測でも、一観測からリスクプレミアムを特定するものでもありません。オプションから較正したリスク中立分散期間構造を、予想実現ボラティリティと呼び替えられないことを示します。

また一般に √E[v_T] ≠ E[√v_T] です。この例は期待分散の平方根で、期待ボラティリティではありません。完全なオプション価値は分散の分布と経路、リターンとの相関、ペイオフに依存します。

モデル選択と検証

確率微分方程式、測度、状態変数、単位、境界挙動、相関構造を明記します。
P でリターンから推定するパラメーターと Q で価格から較正するものを分けます。
同期した執行可能気配、フォワード、割引因子、配当、契約条件を使います。
Bid-Ask や Vega など経済的重要度で誤差を重み付けし、満期・翼ごとに確認します。
複数初期値から最適化し、ほぼ同価値のパラメーター組を報告します。
正値性、モーメント条件、シミュレーション偏り、離散化、変換積分、分岐処理を確認します。
全較正商品を再評価し、IV RMSE だけでなく市場スプレッドと誤差を比較します。
将来サーフェス変動、ヘッジ損益、パラメーター安定性を標本外検証します。
価格ジャンプ、イベント分散、相関崩壊、Vol-of-Vol 急増、流動性喪失をストレスします。
対象ペイオフについて Heston、local vol、stochastic local vol、jump、rough を比較します。
米国型行使、離散配当、バリア、経路依存には適切な数値法を使います。
取引費用、離散再ヘッジ、資金、割当、取引不能なヘッジを含めます。
意図的に省いたリスクを記録します。精密な較正でも欠落リスクは減りません。

よくある誤解

「確率的ボラティリティはボラティリティを予測する。」 モデルとパラメーター選定後の条件動学です。
「過去分散パラメーターでオプションを価格付けできる。」 一般にリスク中立動学とリスクプレミアムが必要です。
「vanilla を完全に合わせればモデルが正しい。」 静的フィットは経路やヘッジを特定しません。
「因子が多いほど必ず正確だ。」 不安定性、過剰適合、ヘッジ不能なパラメーターリスクも増えます。
「確率的ボラティリティは暴落を含む。」 連続モデルは価格・分散ジャンプを省き得ます。
「リスク中立期待分散は市場予測だ。」 リスクプレミアムを含む価格付け対象です。
「較正パラメーターには一つの経済的意味がある。」 相互補償し識別が弱い場合があります。