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Aproximação Delta-Gamma: P&L local, unidades e reprecificação

Estime mudanças locais de valor de opções e carteiras com Delta e Gamma com sinal, Gamma cruzada, unidades compatíveis, verificações por diferenças finitas e controles de reprecificação completa.

Atualizado

Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.

Resposta direta

Para um valor de modelo V_i(S, x) em uma marca temporal e um estado de modelo fixos, a aproximação Delta-Gamma de um fator é ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)². Aqui, Delta_i = ∂V_i / ∂S, Gamma_i = ∂²V_i / ∂S² e ΔS é um movimento absoluto na mesma coordenada de preço do subjacente usada pelas derivadas.

A fórmula é uma estimativa de Taylor local de segunda ordem da mudança no valor do modelo. Não é previsão, probabilidade, P&L executável nem substituto da reprecificação completa. Sua interpretação exige o direito exato, posição com sinal, multiplicador, moeda, coordenada, superfície de volatilidade, tempo, taxas, dividendos, empréstimo, modelo de exercício, liquidação e escala do fornecedor.

Curva do valor de uma opção com uma tangente Delta e uma correção de curvatura Gamma Curva do valor de uma opção com uma tangente Delta e uma correção de curvatura Gamma
A estimativa Delta-Gamma é local; a reprecificação completa controla um cenário finito.

Registro da aproximação com sinal e unidades consistentes

Seja q_i a quantidade de contratos de opções com sinal, positiva em posições compradas e negativa em vendidas; M_i o multiplicador de prêmio compatível; e h as unidades do subjacente com sinal. Para direitos sobre uma coordenada de preço compatível, a Delta da posição é D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i, a Gamma da posição é G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i, e a estimativa local da posição é ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)². Uma ação contribui com Delta +1 por unidade comprada e Gamma 0.

  1. Fixe cada série exata, marca temporal, sinal da posição, quantidade, multiplicador, entregável, moeda, estilo de exercício, método de liquidação, coordenada de preço e versão do modelo. Símbolos semelhantes não tornam direitos compatíveis.
  2. Congele o estado do modelo e a convenção do choque: spot ou forward, taxas, dividendos, empréstimo, tempo exato até o vencimento, superfície de volatilidade, regra sticky-strike ou sticky-delta e tratamento de eventos discretos. Um movimento simultâneo do tempo ou da volatilidade não é um cenário Delta-Gamma spot puro.
  3. Normalize cada perna para gregas compatíveis por unidade. Diferencie Delta spot, forward, de futuros, ajustada pelo prêmio e cash; Gamma por $1, ponto de índice, ponto de futuro ou 1% spot move; e valores do fornecedor que já podem incluir quantidade ou multiplicador.
  4. Agregue com q_i × M_i com sinal e só então adicione separadamente o hedge do subjacente. Não compense moedas, coordenadas, vencimentos, tipos de liquidação ou superfícies calibradas de forma independente e incompatíveis apenas porque um painel mostra um único número.
  5. Para vários fatores de risco x, use a forma de gradiente e hessiana ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx. Em uma hessiana simétrica, o par fora da diagonal é contado duas vezes dentro da forma quadrática; portanto, sua contribuição simplificada é Gamma_AB × ΔA × ΔB, não zero nem duas vezes esse valor novamente.
  6. Valide as gregas de modelos suaves com perturbações centradas: Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) e Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε². Varie ε para revelar efeitos de truncamento, cancelamento, grade e recalibração da superfície.
  7. Reprecifique completamente cada perna em cenários finitos e concilie o residual. Para negociar, substitua marcas de modelo por preços bid-ask executáveis e inclua execuções, tarifas, slippage do hedge, empréstimo, dividendos, atribuição, exercício, fluxos de liquidação, impostos e gregas após o choque.

Adicionar Vega × ΔIV ou Theta × Δt só é válido depois de definir as unidades de volatilidade e tempo e a direção da derivada temporal. Ainda pode omitir Vanna, Vomma, Charm, mudanças de forma do skew, termos cruzados e ordens superiores. Dividir um choque grande em etapas só ajuda quando todo o estado e as gregas são atualizados; continua sendo aproximação e pode depender da trajetória.

Exemplos resolvidos

  • Uma call versus reprecificação completa. Uma call europeia tem S = 100, K = 100, r = 4%, rendimento contínuo y = 1%, σ = 25% e τ = 0.5. Uma referência Black-Scholes fornece V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 e Gamma_i = 0.0221205770. Para ΔS = +5, o termo Delta é 2.8296615855, o termo Gamma é 0.2765072125 e a estimativa é ΔV_DG = 3.1061687980, de modo que o valor estimado é 10.8277210283. A reprecificação completa com a mesma volatilidade implícita fornece V_1 = 10.8172471731, mudança 3.0956949428 e residual full − DG = −0.0104738552 por ação ou −$1.047386 por M = 100. Se a volatilidade implícita final for 30%, o valor completo será 12.1628459929 e a mudança total 4.4412937626; a estimativa spot original omite 1.3351249646 de mudança de estado e interação.
  • Posição vendida com sinal. Seis calls vendidas têm q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 e Gamma_i = 0.04, portanto D_pos = −330 shares e G_pos = −24 shares per $1. Para ΔS = +2, os termos Delta e Gamma são −$660 e −$48, total −$708, e a Delta atualizada é próxima de −378 shares. Para ΔS = −2, são +$660 e −$48, total +$612, e a Delta atualizada é próxima de −282 shares. Gamma negativa torna negativa a contribuição da curvatura nas duas direções; não torna o P&L total simétrico.
  • Opções mais hedge em ações. Mantenha quatro calls com Delta_i = 0.35 e Gamma_i = 0.025, venda três puts com Delta_i = −0.40 e Gamma_i = 0.030, use M = 100 e venda 200 shares. A Delta das opções é +140 + 120 = +260 shares; a líquida é D_pos = +60 shares. A Gamma é +10 − 9 = +1 share per $1. Para ΔS = +5, a estimativa da posição é 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50, e a Delta atualizada é próxima de +65 shares. A atribuição por perna é +$825.00 das calls, +$487.50 das puts e −$1,000 das ações, conciliando com +$312.50.
  • Gamma cruzada de dois fatores. Suponha ΔA = +2, ΔB = −3, Delta_A = 120, Delta_B = −80, Gamma_AA = 4, Gamma_BB = 2 e Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5 simétricas, tudo já em unidades compatíveis de posição e moeda. O termo linear é 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480; a curvatura diagonal é ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17; e o termo cruzado simplificado é 1.5 × 2 × (−3) = −9. O total é 488. Omitir Gamma cruzada dá 497; multiplicar o termo cruzado simplificado por dois novamente dá 479.

Riscos e controles

  • Série, símbolo-raiz, vencimento, strike, tipo de opção ou entregável incorretos invalidam a aproximação.
  • Omitir o sinal da posição inverte Delta, Gamma, direção do hedge e atribuição.
  • Quantidade de contratos e multiplicador de prêmio podem ser contados duas vezes ou omitidos.
  • Contratos ajustados, opções sobre futuros e gregas agregadas pelo fornecedor podem usar unidades não padronizadas.
  • Coordenadas spot, forward, de futuros, log-preço, ajustada pelo prêmio e cash não são intercambiáveis.
  • Um choque absoluto de preço difere de um choque percentual ou de desvio-padrão.
  • Moeda e conversão cambial podem tornar inconsistentes gregas aparentemente comparáveis.
  • Marcas temporais diferentes ou marcas defasadas do subjacente, superfície e opção criam compensação falsa.
  • Regras sticky-strike, sticky-delta, skew e estrutura a termo alteram a sensibilidade medida.
  • Taxas, dividendos, empréstimo, financiamento e horário exato do vencimento afetam valores e gregas.
  • Termos de tempo e volatilidade podem ter sinais opostos ou fatores de 100 em unidades diferentes do fornecedor.
  • Exercício americano e dividendos discretos criam limites ausentes de uma fórmula europeia suave.
  • Direitos digitais, com barreira e outros descontínuos podem ter Gamma instável ou semelhante a uma distribuição.
  • Perto do vencimento, Gamma e diferenças finitas podem depender muito do strike e da grade.
  • Choques grandes revelam ordens terceira e superiores omitidas pelas gregas iniciais fixas.
  • Saltos, gaps e interrupções contornam as premissas de rebalanceamento local contínuo.
  • Gamma cruzada, correlação e mapeamento de fatores podem ser omitidos ou contados duas vezes em carteiras multiativos.
  • Perturbações de diferenças finitas muito grandes acrescentam erro de truncamento; as minúsculas acrescentam ruído de cancelamento.
  • Marcas e gregas de modelo não garantem preços executáveis, tamanho ou liquidez do hedge.
  • Hedge dinâmico, tarifas, impacto, empréstimo, atribuição, liquidação, versões do modelo e registros da corretora exigem conciliação final.

Erros comuns

  • “O termo Gamma é Gamma_i × (ΔS)².” O coeficiente de Taylor é ½.
  • “Gamma positiva garante lucro nas duas direções.” Ela melhora localmente o valor em relação à tangente; Delta, prêmio, tempo, volatilidade, custos e trajetória continuam relevantes.
  • “Delta-neutral significa sem risco.” Elimina um termo atual de primeira ordem, não Gamma, Vega, Theta, saltos, base, liquidez ou risco de modelo.
  • “Adicionar qualquer Vega e Theta exibidas completa a estimativa de P&L.” Unidades, direção da derivada, sensibilidades cruzadas, mudanças da superfície e ordens superiores também devem coincidir.
  • “Gregas precisas ou pequenos passos repetidos substituem a reprecificação completa.” Melhoram a atribuição, mas cenários finitos, execução e ciclo de vida ainda exigem avaliação e conciliação completas.

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