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Approssimazione Delta-Gamma: P&L locale, unità e repricing

Stima variazioni locali di valore di opzioni e portafogli con Delta e Gamma con segno, Gamma incrociato, unità compatibili, verifiche a differenze finite e controlli di repricing completo.

Aggiornato

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

Per un valore di modello V_i(S, x) a istante e stato di modello fissi, l’approssimazione Delta-Gamma a un fattore è ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)². Qui Delta_i = ∂V_i / ∂S, Gamma_i = ∂²V_i / ∂S² e ΔS è un movimento assoluto nella stessa coordinata di prezzo del sottostante usata dalle derivate.

La formula è una stima Taylor locale del secondo ordine della variazione del valore di modello. Non è previsione, probabilità, P&L eseguibile o sostituto del repricing completo. La sua interpretazione richiede diritto esatto, posizione con segno, moltiplicatore, valuta, coordinata, superficie di volatilità, tempo, tassi, dividendi, prestito, modello di esercizio, regolamento e scala del fornitore.

Curva del valore di un’opzione con tangente Delta e correzione di curvatura Gamma Curva del valore di un’opzione con tangente Delta e correzione di curvatura Gamma
La stima Delta-Gamma è locale; il repricing completo controlla uno scenario finito.

Registro dell’approssimazione coerente per segno e unità

Sia q_i il numero di contratti di opzione con segno, positivo per posizioni lunghe e negativo per posizioni corte; M_i il moltiplicatore del premio compatibile; e h le unità del sottostante con segno. Per diritti sulla stessa coordinata di prezzo compatibile, il Delta di posizione è D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i, il Gamma di posizione è G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i e la stima locale della posizione è ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)². Un’azione contribuisce con Delta +1 per unità lunga e Gamma 0.

  1. Fissa ogni serie esatta, istante, segno della posizione, quantità, moltiplicatore, consegnabile, valuta, stile di esercizio, metodo di regolamento, coordinata di prezzo e versione del modello. Simboli simili non rendono compatibili i diritti.
  2. Congela stato del modello e convenzione dello shock: spot o forward, tassi, dividendi, prestito, tempo esatto alla scadenza, superficie di volatilità, regola sticky-strike o sticky-delta e trattamento degli eventi discreti. Un movimento simultaneo di tempo o volatilità non è uno scenario Delta-Gamma spot puro.
  3. Normalizza ogni gamba a greche compatibili per unità. Distingui Delta spot, forward, futures, corretta per il premio e cash; Gamma per $1, punto indice, punto futures o 1% spot move; e valori del fornitore che possono già includere quantità o moltiplicatore.
  4. Aggrega con q_i × M_i con segno, poi aggiungi separatamente la copertura del sottostante. Non compensare valute, coordinate, scadenze, tipi di regolamento o superfici calibrate indipendentemente e incompatibili solo perché un pannello mostra un singolo numero.
  5. Per più fattori di rischio x, usa la forma gradiente e hessiana ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx. In una hessiana simmetrica, la coppia fuori diagonale è conteggiata due volte nella forma quadratica, quindi il contributo semplificato è Gamma_AB × ΔA × ΔB, non zero né di nuovo il doppio.
  6. Valida le greche di modelli regolari con perturbazioni centrate: Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) e Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε². Varia ε per evidenziare effetti di troncamento, cancellazione, griglia e ricalibrazione della superficie.
  7. Esegui il repricing completo di ogni gamba per scenari finiti e riconcilia il residuo. Per negoziare, sostituisci i mark di modello con prezzi bid-ask eseguibili e includi eseguiti, commissioni, slippage della copertura, prestito, dividendi, assegnazione, esercizio, flussi di regolamento, imposte e greche dopo lo shock.

Aggiungere Vega × ΔIV o Theta × Δt è valido solo dopo aver definito le unità di volatilità e tempo e la direzione della derivata temporale. Può comunque omettere Vanna, Vomma, Charm, rimodellamento dello skew, termini incrociati e ordini superiori. Suddividere uno shock ampio in passi aiuta solo aggiornando interamente stato e greche; resta un’approssimazione e può dipendere dal percorso.

Esempi svolti

  • Una call rispetto al repricing completo. Una call europea ha S = 100, K = 100, r = 4%, rendimento continuo y = 1%, σ = 25% e τ = 0.5. Un benchmark Black-Scholes dà V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 e Gamma_i = 0.0221205770. Per ΔS = +5, il termine Delta è 2.8296615855, il termine Gamma 0.2765072125 e la stima ΔV_DG = 3.1061687980, quindi il valore stimato è 10.8277210283. Il repricing completo alla stessa volatilità implicita dà V_1 = 10.8172471731, variazione 3.0956949428 e residuo full − DG = −0.0104738552 per azione o −$1.047386 per M = 100. Se la volatilità implicita finale è invece 30%, il valore completo è 12.1628459929 e la variazione totale 4.4412937626; la stima spot originaria omette 1.3351249646 di variazione dello stato e interazione.
  • Posizione corta con segno. Sei call corte hanno q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 e Gamma_i = 0.04, quindi D_pos = −330 shares e G_pos = −24 shares per $1. Per ΔS = +2, i termini Delta e Gamma sono −$660 e −$48, totale −$708, e il Delta aggiornato è circa −378 shares. Per ΔS = −2, sono +$660 e −$48, totale +$612, e il Delta aggiornato è circa −282 shares. Gamma negativo rende negativo il contributo di curvatura in entrambe le direzioni; non rende simmetrico il P&L totale.
  • Opzioni con copertura azionaria. Detieni quattro call con Delta_i = 0.35 e Gamma_i = 0.025, vendi tre put con Delta_i = −0.40 e Gamma_i = 0.030, usa M = 100 e vendi allo scoperto 200 shares. Il Delta delle opzioni è +140 + 120 = +260 shares; il netto è D_pos = +60 shares. Il Gamma è +10 − 9 = +1 share per $1. Per ΔS = +5, la stima della posizione è 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50, e il Delta aggiornato circa +65 shares. L’attribuzione per gamba è +$825.00 dalle call, +$487.50 dalle put e −$1,000 dalle azioni, riconciliandosi a +$312.50.
  • Gamma incrociato a due fattori. Supponi ΔA = +2, ΔB = −3, Delta_A = 120, Delta_B = −80, Gamma_AA = 4, Gamma_BB = 2 e Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5 simmetrici, già in unità compatibili di posizione e valuta. Il termine lineare è 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480; la curvatura diagonale è ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17; il termine incrociato semplificato è 1.5 × 2 × (−3) = −9. Il totale è 488. Omettere il Gamma incrociato dà 497; moltiplicare di nuovo per due il termine incrociato semplificato dà 479.

Rischi e controlli

  • Serie, simbolo radice, scadenza, strike, tipo di opzione o consegnabile errati invalidano l’approssimazione.
  • Omettere il segno di posizione inverte Delta, Gamma, direzione della copertura e attribuzione.
  • Quantità di contratti e moltiplicatore del premio possono essere conteggiati due volte oppure omessi.
  • Contratti rettificati, opzioni su futures e greche aggregate dal fornitore possono usare unità non standard.
  • Coordinate spot, forward, futures, log-prezzo, corrette per premio e cash non sono intercambiabili.
  • Uno shock di prezzo assoluto differisce da uno percentuale o in deviazioni standard.
  • Valuta e conversione FX possono rendere incoerenti greche apparentemente comparabili.
  • Istanti diversi o mark obsoleti di sottostante, superficie e opzione creano compensazioni false.
  • Regole sticky-strike, sticky-delta, skew e struttura a termine modificano la sensibilità misurata.
  • Tassi, dividendi, prestito, finanziamento e orario esatto di scadenza influenzano valori e greche.
  • Termini di tempo e volatilità possono avere segni opposti o fattori di 100 in unità diverse del fornitore.
  • Esercizio americano e dividendi discreti creano confini assenti da una formula europea regolare.
  • Diritti digitali, con barriera e altri discontinui possono avere Gamma instabile o simile a una distribuzione.
  • Vicino alla scadenza, Gamma e differenze finite possono dipendere fortemente da strike e griglia.
  • Shock ampi rivelano ordini terzo e superiori omessi dalle greche iniziali fisse.
  • Salti, gap e sospensioni aggirano le ipotesi di ribilanciamento locale continuo.
  • Gamma incrociato, correlazione e mappatura dei fattori possono mancare o essere duplicati nei portafogli multi-asset.
  • Perturbazioni di differenze finite troppo grandi aggiungono errore di troncamento; quelle minime aggiungono rumore di cancellazione.
  • Mark e greche di modello non garantiscono prezzi eseguibili, quantità o liquidità di copertura.
  • Copertura dinamica, commissioni, impatto, prestito, assegnazione, regolamento, versioni del modello e registri dell’intermediario richiedono riconciliazione finale.

Errori comuni

  • «Il termine Gamma è Gamma_i × (ΔS)²». Il coefficiente Taylor è ½.
  • «Gamma positivo garantisce profitto in entrambe le direzioni». Migliora localmente il valore rispetto alla tangente; Delta, premio, tempo, volatilità, costi e percorso restano rilevanti.
  • «Delta-neutral significa privo di rischio». Elimina un termine corrente del primo ordine, non Gamma, Vega, Theta, salti, base, liquidità o rischio di modello.
  • «Aggiungere qualsiasi Vega e Theta visualizzati completa la stima del P&L». Devono coincidere anche unità, direzione della derivata, sensibilità incrociate, modifiche della superficie e ordini superiori.
  • «Greche precise o piccoli passi ripetuti sostituiscono il repricing completo». Migliorano l’attribuzione, ma scenari finiti, esecuzione e ciclo di vita richiedono comunque valutazione e riconciliazione complete.

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