Lompat ke konten
Financial Context Wiki

Pendekatan Delta-Gamma: Laba Rugi Lokal, Unit, dan Repricing

Estimasi perubahan lokal nilai opsi dan portofolio dengan Delta, Gamma, dan cross-Gamma bertanda, unit yang kompatibel, pemeriksaan beda hingga, serta kontrol repricing penuh.

Diperbarui

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Untuk nilai model V_i(S, x) pada cap waktu dan keadaan model yang tetap, pendekatan Delta-Gamma satu faktor adalah ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)². Di sini Delta_i = ∂V_i / ∂S, Gamma_i = ∂²V_i / ∂S², dan ΔS adalah gerakan absolut dalam koordinat harga aset dasar yang sama dengan yang digunakan oleh turunan tersebut.

Rumus ini merupakan estimasi Taylor lokal orde kedua atas perubahan nilai model. Rumus tersebut bukan prakiraan, probabilitas, laba rugi yang dapat dieksekusi, atau pengganti repricing penuh. Interpretasinya memerlukan klaim yang tepat, posisi bertanda, multiplier, mata uang, koordinat, permukaan volatilitas, waktu, suku bunga, dividen, biaya pinjam, model pelaksanaan, penyelesaian, dan skala vendor.

Kurva nilai opsi dengan garis singgung Delta dan koreksi kelengkungan Gamma Kurva nilai opsi dengan garis singgung Delta dan koreksi kelengkungan Gamma
Estimasi Delta-Gamma bersifat lokal; repricing penuh mengendalikan skenario terbatas.

Buku besar pendekatan dengan tanda dan unit yang konsisten

Misalkan q_i adalah kontrak opsi bertanda, positif untuk posisi long dan negatif untuk posisi short; M_i adalah multiplier premi yang kompatibel; dan h adalah unit aset dasar bertanda. Untuk klaim pada satu koordinat harga yang kompatibel, Delta posisi adalah D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i, Gamma posisi adalah G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i, dan estimasi lokal posisi adalah ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)². Saham menyumbang Delta +1 per unit long dan Gamma 0.

  1. Kunci setiap seri yang tepat, cap waktu, tanda posisi, kuantitas, multiplier, deliverable, mata uang, gaya pelaksanaan, metode penyelesaian, koordinat harga, dan versi model. Simbol yang serupa tidak membuktikan bahwa klaim kompatibel.
  2. Bekukan keadaan model dan konvensi guncangan: spot atau forward, suku bunga, dividen, biaya pinjam, waktu tepat hingga jatuh tempo, permukaan volatilitas, aturan sticky-strike atau sticky-delta, dan perlakuan peristiwa diskret. Perubahan waktu atau volatilitas secara bersamaan bukan skenario Delta-Gamma spot murni.
  3. Normalisasikan setiap kaki menjadi Greek per unit yang kompatibel. Bedakan Delta spot, forward, futures, yang disesuaikan dengan premi, dan Delta tunai; Gamma per $1, poin indeks, poin futures, atau 1% spot move; serta nilai vendor yang mungkin sudah memasukkan kuantitas atau multiplier.
  4. Lakukan agregasi dengan q_i × M_i bertanda, kemudian tambahkan lindung nilai aset dasar secara terpisah. Jangan men-neto-kan mata uang, koordinat, jatuh tempo, jenis penyelesaian, atau permukaan yang dikalibrasi secara independen dan tidak sebanding hanya karena dashboard menampilkan satu angka.
  5. Untuk beberapa faktor risiko x, gunakan bentuk gradien dan Hessian ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx. Dalam Hessian simetris, pasangan di luar diagonal dihitung dua kali di dalam bentuk kuadratik, sehingga kontribusi sederhananya adalah Gamma_AB × ΔA × ΔB, bukan nol dan bukan pula dua kali lipat lagi.
  6. Validasi Greek model yang mulus dengan bump terpusat: Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) dan Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε². Variasikan ε untuk mengungkap dampak truncation, cancellation, grid, dan kalibrasi ulang permukaan.
  7. Lakukan repricing penuh atas setiap kaki untuk skenario terbatas dan rekonsiliasi residualnya. Untuk perdagangan, ganti harga model dengan harga bid-ask yang dapat dieksekusi serta masukkan fill, biaya, slippage lindung nilai, peminjaman, dividen, assignment, pelaksanaan, arus kas penyelesaian, pajak, dan Greek setelah guncangan.

Menambahkan Vega × ΔIV atau Theta × Δt hanya valid setelah unit volatilitas dan waktu serta arah turunan waktu didefinisikan. Langkah ini tetap dapat mengabaikan Vanna, Vomma, Charm, perubahan bentuk skew, cross-term, dan orde lebih tinggi. Membagi guncangan besar menjadi beberapa langkah hanya membantu jika seluruh keadaan dan Greek diperbarui; hasilnya tetap merupakan pendekatan dan dapat bergantung pada jalur.

Contoh terhitung

  • Satu call dibanding repricing penuh. Sebuah call Eropa memiliki S = 100, K = 100, r = 4%, yield kontinu y = 1%, σ = 25%, dan τ = 0.5. Tolok ukur Black-Scholes menghasilkan V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171, dan Gamma_i = 0.0221205770. Untuk ΔS = +5, komponen Delta adalah 2.8296615855, komponen Gamma 0.2765072125, dan estimasi ΔV_DG = 3.1061687980, sehingga estimasi nilai menjadi 10.8277210283. Repricing penuh dengan IV yang sama menghasilkan V_1 = 10.8172471731, perubahan 3.0956949428, dan residual full − DG = −0.0104738552 per saham atau −$1.047386 per M = 100. Jika IV akhir menjadi 30%, nilai penuh adalah 12.1628459929 dan perubahan total 4.4412937626; estimasi spot awal saja mengabaikan 1.3351249646 perubahan keadaan dan interaksi.
  • Posisi short bertanda. Enam call short memiliki q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55, dan Gamma_i = 0.04, sehingga D_pos = −330 shares dan G_pos = −24 shares per $1. Untuk ΔS = +2, komponen Delta dan Gamma adalah −$660 dan −$48, total −$708, dan Delta baru sekitar −378 shares. Untuk ΔS = −2, kedua komponen menjadi +$660 dan −$48, total +$612, dan Delta baru sekitar −282 shares. Gamma negatif membuat kontribusi kelengkungan negatif di kedua arah; hal itu tidak membuat laba rugi total simetris.
  • Opsi bersama lindung nilai saham. Pegang empat call dengan Delta_i = 0.35 dan Gamma_i = 0.025, lakukan short atas tiga put dengan Delta_i = −0.40 dan Gamma_i = 0.030, gunakan M = 100, dan lakukan short 200 shares. Delta opsi adalah +140 + 120 = +260 shares; neto D_pos = +60 shares. Gamma adalah +10 − 9 = +1 share per $1. Untuk ΔS = +5, estimasi posisi adalah 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50, dan Delta baru sekitar +65 shares. Atribusi per kaki adalah +$825.00 dari call, +$487.50 dari put, dan −$1,000 dari saham, yang direkonsiliasi menjadi +$312.50.
  • Cross-Gamma dua faktor. Misalkan ΔA = +2, ΔB = −3, Delta_A = 120, Delta_B = −80, Gamma_AA = 4, Gamma_BB = 2, dan nilai simetris Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5, seluruhnya sudah berada dalam unit posisi dan mata uang yang kompatibel. Komponen linear adalah 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480; kelengkungan diagonal ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17; dan cross-term sederhana 1.5 × 2 × (−3) = −9. Totalnya 488. Mengabaikan cross-Gamma menghasilkan 497; mengalikan cross-term sederhana dengan dua sekali lagi menghasilkan 479.

Risiko dan pengendalian

  • Seri, root, jatuh tempo, harga pelaksanaan, jenis opsi, atau deliverable yang salah membatalkan pendekatan.
  • Mengabaikan tanda posisi membalik Delta, Gamma, arah lindung nilai, dan atribusi.
  • Jumlah kontrak dan multiplier premi dapat dihitung ganda atau diabaikan.
  • Kontrak yang disesuaikan, opsi futures, dan Greek vendor yang teragregasi dapat memakai unit nonstandar.
  • Koordinat spot, forward, futures, log-harga, yang disesuaikan dengan premi, dan tunai tidak dapat saling dipertukarkan.
  • Guncangan harga absolut berbeda dari guncangan persentase atau simpangan baku.
  • Mata uang dan konversi FX dapat membuat Greek yang tampak sebanding menjadi tidak konsisten.
  • Cap waktu yang berbeda atau harga aset dasar, permukaan, dan opsi yang usang menciptakan netting semu.
  • Aturan sticky-strike, sticky-delta, skew, dan struktur jangka waktu mengubah sensitivitas terukur.
  • Suku bunga, dividen, biaya pinjam, pendanaan, dan waktu jatuh tempo yang tepat memengaruhi nilai dan Greek.
  • Komponen waktu dan volatilitas dapat memiliki tanda berlawanan atau faktor 100 pada unit vendor yang berbeda.
  • Pelaksanaan gaya Amerika dan dividen diskret menciptakan batas yang tidak ada dalam rumus Eropa yang mulus.
  • Klaim digital, barrier, dan klaim diskontinu lainnya dapat memiliki Gamma yang tidak stabil atau menyerupai distribusi.
  • Mendekati jatuh tempo, Gamma dan beda hingga dapat sangat bergantung pada harga pelaksanaan dan grid.
  • Guncangan besar mengungkap orde ketiga dan lebih tinggi yang diabaikan oleh Greek awal yang tetap.
  • Lompatan, gap, dan penghentian perdagangan melampaui asumsi rebalancing lokal yang kontinu.
  • Cross-Gamma, korelasi, dan pemetaan faktor dapat diabaikan atau dihitung ganda dalam portofolio multi-aset.
  • Bump beda hingga yang terlalu besar menambah truncation error; bump yang terlalu kecil menambah cancellation noise.
  • Harga model dan Greek tidak menjamin harga, ukuran, atau likuiditas lindung nilai yang dapat dieksekusi.
  • Lindung nilai dinamis, biaya, dampak pasar, peminjaman, assignment, penyelesaian, versi model, dan catatan broker memerlukan rekonsiliasi akhir.

Kesalahpahaman umum

  • “Komponen Gamma adalah Gamma_i × (ΔS)².” Koefisien Taylor adalah ½.
  • “Gamma positif menjamin laba ke arah mana pun.” Secara lokal Gamma meningkatkan nilai dibanding garis singgung; Delta, premi, waktu, volatilitas, biaya, dan jalur tetap penting.
  • “Netral Delta berarti bebas risiko.” Posisi itu menghapus satu komponen orde pertama saat ini, bukan Gamma, Vega, Theta, lompatan, basis, likuiditas, atau risiko model.
  • “Menambahkan Vega dan Theta apa pun yang ditampilkan melengkapi estimasi laba rugi.” Unit, arah turunan, sensitivitas silang, perubahan permukaan, dan orde lebih tinggi juga harus cocok.
  • “Greek yang presisi atau langkah kecil berulang menggantikan repricing penuh.” Keduanya memperbaiki atribusi, tetapi skenario terbatas, eksekusi, dan peristiwa siklus hidup tetap memerlukan valuasi dan rekonsiliasi lengkap.

Topik terkait

Sumber otoritatif

Navigasi

Cari di wiki...