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Delta-Gamma 近似：局部損益、單位與完整重評價

以帶符號的 Delta、Gamma、交叉 Gamma、相容單位、有限差分檢查與完整重評價控制，估算選擇權及投資組合的局部價值變動。

更新於

僅供教育參考，不構成投資建議；投資可能造成損失。

直接答案

對固定時點及模型狀態下的模型價值 V_i(S, x)，單因子 Delta-Gamma 近似為 ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)²。其中 Delta_i = ∂V_i / ∂S、Gamma_i = ∂²V_i / ∂S²，而 ΔS 是與求導所用標的價格座標一致的絕對變動。

這個公式是模型價值變動的局部二階泰勒估計。它不是預測、機率、可成交損益，也不能取代完整重評價。解讀時必須明確界定請求權、帶符號部位、乘數、幣別、座標、波動率曲面、時間、利率、股利、借券、履約模型、結算方式及資料供應商的縮放規則。

帶有 Delta 切線與 Gamma 曲率修正的選擇權彎曲價值線 帶有 Delta 切線與 Gamma 曲率修正的選擇權彎曲價值線
Delta-Gamma 估計屬於局部近似；有限情境應以完整重評價控管。

帶符號且單位一致的近似帳冊

令 q_i 為帶符號的選擇權契約數，多頭為正、空頭為負；M_i 為相容的權利金乘數；h 為帶符號的標的單位。對以同一相容價格座標計量的請求權，部位 Delta 為 D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i，部位 Gamma 為 G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i，局部部位估計為 ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)²。每一單位股票多頭貢獻 Delta +1，Gamma 為 0。

  1. 鎖定每一確切契約系列、時點、部位符號、數量、乘數、交付標的、幣別、履約方式、結算方式、價格座標及模型版本。代號相似並不代表請求權相容。
  2. 凍結模型狀態與衝擊慣例：現貨或遠期、利率、股利、借券、精確剩餘期限、波動率曲面、固定履約價或固定 Delta 規則，以及離散事件的處理方式。時間或波動率同步變動的情境並非純現貨 Delta-Gamma 情境。
  3. 將各腿標準化為單位相容的希臘字母敏感度。區分現貨、遠期、期貨、權利金調整後及現金 Delta；區分 Gamma 是按 $1、指數點、期貨點或 1% spot move 表示；並確認供應商數值是否已納入數量或乘數。
  4. 以帶符號的 q_i × M_i 彙總，再另行加入標的避險。不能只因儀表板顯示單一數字，就抵銷幣別、座標、到期日、結算方式或獨立校準曲面不同的部位。
  5. 對多個風險因子 x，採用梯度與海森矩陣形式 ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx。在對稱海森矩陣中，非對角元素組合會在二次型內計算兩次，因此其簡化貢獻是 Gamma_AB × ΔA × ΔB，不能忽略，也不能再乘一次二。
  6. 以中央差分驗證平滑模型的希臘字母敏感度：Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) 與 Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε²。改變 ε，以辨識截斷、相消、網格及曲面重新校準造成的影響。
  7. 對有限情境完整重評價每一腿並核對殘差。交易分析應以可成交買賣價取代模型標記，並納入成交、費用、避險滑價、借券、股利、指派、履約、結算現金流、稅務及衝擊後希臘字母敏感度。

只有明確定義波動率與時間單位，以及時間導數的方向後，才可加入 Vega × ΔIV 或 Theta × Δt。即使如此，仍可能遺漏 Vanna、Vomma、Charm、偏斜曲面重塑、交叉項與高階項。將大幅衝擊拆成數步，只有在每一步都更新完整狀態與希臘字母敏感度時才有幫助；它仍是近似，也可能產生路徑相依性。

計算範例

  • 一口買權與完整重評價。 一口歐式買權的參數為 S = 100、K = 100、r = 4%、連續收益率 y = 1%、σ = 25% 及 τ = 0.5。Black-Scholes 基準給出 V_0 = 7.7215522303、Delta_i = 0.5659323171 與 Gamma_i = 0.0221205770。對 ΔS = +5，Delta 項為 2.8296615855，Gamma 項為 0.2765072125，估計變動為 ΔV_DG = 3.1061687980，因此估計價值為 10.8277210283。保持隱含波動率不變的完整重評價得到 V_1 = 10.8172471731、變動 3.0956949428，殘差為每股 full − DG = −0.0104738552，即每口 −$1.047386（M = 100）。若終點隱含波動率改為 30%，完整價值為 12.1628459929，總變動為 4.4412937626；原先僅含現貨的估計遺漏了 1.3351249646 的狀態變動與交互作用。
  • 帶符號的空頭部位。 賣出 6 口買權，其 q = −6、M = 100、Delta_i = 0.55、Gamma_i = 0.04，因此 D_pos = −330 shares，G_pos = −24 shares per $1。對 ΔS = +2，Delta 與 Gamma 項分別是 −$660 和 −$48，合計 −$708，更新後 Delta 約為 −378 shares。對 ΔS = −2，兩項分別是 +$660 和 −$48，合計 +$612，更新後 Delta 約為 −282 shares。負 Gamma 會使兩個方向的曲率貢獻均為負，但不會使總損益對稱。
  • 選擇權加股票避險。 持有 4 口 Delta_i = 0.35、Gamma_i = 0.025 的買權，賣出 3 口 Delta_i = −0.40、Gamma_i = 0.030 的賣權，使用 M = 100，並放空 200 shares。選擇權 Delta 為 +140 + 120 = +260 shares；淨 D_pos = +60 shares。Gamma 為 +10 − 9 = +1 share per $1。對 ΔS = +5，部位估計為 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50，更新後 Delta 約為 +65 shares。各腿歸因為買權 +$825.00、賣權 +$487.50、股票 −$1,000，合計核對為 +$312.50。
  • 雙因子交叉 Gamma。 假設 ΔA = +2、ΔB = −3、Delta_A = 120、Delta_B = −80、Gamma_AA = 4、Gamma_BB = 2，對稱的 Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5，且均已換算為相容的部位與幣別單位。線性項是 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480；對角曲率為 ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17；簡化交叉項為 1.5 × 2 × (−3) = −9。合計為 488。省略交叉 Gamma 會得到 497；將簡化交叉項再次乘以二則會得到 479。

風險與控管

  • 契約系列、標的代號、到期日、履約價、選擇權類型或交付標的錯誤，會使近似失效。
  • 遺漏部位符號會反轉 Delta、Gamma、避險方向及歸因。
  • 契約口數與權利金乘數可能遭重複計算或遺漏。
  • 調整後契約、期貨選擇權及供應商彙總的希臘字母敏感度可能採用非標準單位。
  • 現貨、遠期、期貨、對數價格、權利金調整後及現金座標不能互換。
  • 絕對價格衝擊不同於百分比或標準差衝擊。
  • 幣別與匯率換算可能使表面可比的希臘字母敏感度不一致。
  • 不同時點或過時的標的、曲面與選擇權標記會造成虛假淨額抵銷。
  • 固定履約價、固定 Delta、偏斜及期限結構規則會改變測得的敏感度。
  • 利率、股利、借券、融資與精確到期時間都會影響價值及希臘字母敏感度。
  • 不同供應商的單位可能使時間與波動率項符號相反或相差 100 倍。
  • 美式履約與離散股利會形成平滑歐式公式所沒有的邊界。
  • 數位型、障礙型及其他不連續請求權的 Gamma 可能不穩定或呈現分布型態。
  • 接近到期時，Gamma 與有限差分可能高度依賴履約價及網格。
  • 大幅衝擊會暴露固定起始希臘字母敏感度未涵蓋的三階及更高階項。
  • 跳躍、跳空與暫停交易會破壞連續局部再平衡假設。
  • 多資產帳冊可能遺漏或重複計算交叉 Gamma、相關性及因子映射。
  • 有限差分擾動過大會增加截斷誤差，過小則增加相消雜訊。
  • 模型標記與希臘字母敏感度不保證可成交價格、數量或避險流動性。
  • 動態避險、費用、市場衝擊、借券、指派、結算、模型版本及券商紀錄都必須最終核對。

常見誤解

  • 「Gamma 項是 Gamma_i × (ΔS)²。」泰勒係數是 ½。
  • 「正 Gamma 保證任一方向都獲利。」它只會在局部改善相對於切線的價值；Delta、權利金、時間、波動率、成本及路徑仍會影響結果。
  • 「Delta 中性等於無風險。」它只消除目前的一個一階項，並不消除 Gamma、Vega、Theta、跳躍、基差、流動性或模型風險。
  • 「加入畫面顯示的任意 Vega 與 Theta，就完成損益估計。」單位、導數方向、交叉敏感度、曲面變動及高階項也必須一致。
  • 「精確希臘字母敏感度或反覆採用小步驟可以取代完整重評價。」它們能改善歸因，但有限情境、交易執行及生命週期事件仍需完整評價與核對。

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