ข้ามไปยังเนื้อหา
Financial Context Wiki

การประมาณด้วย Delta-Gamma: กำไรขาดทุนเฉพาะที่ หน่วย และการประเมินราคาใหม่

ประมาณการเปลี่ยนแปลงมูลค่าเฉพาะที่ของออปชันและพอร์ตด้วย Delta, Gamma และ cross-Gamma ที่มีเครื่องหมาย หน่วยที่สอดคล้อง การตรวจสอบด้วยผลต่างจำกัด และการควบคุมด้วยการประเมินราคาใหม่เต็มรูปแบบ

อัปเดต

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

สำหรับมูลค่าจากโมเดล V_i(S, x) ณ เวลาและสถานะโมเดลที่คงที่ การประมาณด้วย Delta-Gamma แบบปัจจัยเดียวคือ ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)² โดย Delta_i = ∂V_i / ∂S, Gamma_i = ∂²V_i / ∂S² และ ΔS คือการเคลื่อนไหวแบบสัมบูรณ์ในพิกัดราคาสินทรัพย์อ้างอิงเดียวกับที่ใช้คำนวณอนุพันธ์

สูตรนี้เป็นการประมาณด้วย Taylor อันดับสองเฉพาะที่สำหรับการเปลี่ยนแปลงมูลค่าจากโมเดล ไม่ใช่การพยากรณ์ ความน่าจะเป็น กำไรขาดทุนที่ดำเนินการได้ หรือสิ่งทดแทนการประเมินราคาใหม่เต็มรูปแบบ การตีความต้องระบุสิทธิเรียกร้อง สถานะที่มีเครื่องหมาย ตัวคูณ สกุลเงิน พิกัด พื้นผิวความผันผวน เวลา อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล ต้นทุนการยืม โมเดลการใช้สิทธิ วิธีชำระราคา และมาตราส่วนของผู้ให้ข้อมูลให้ชัดเจน

เส้นโค้งมูลค่าออปชันที่มีเส้นสัมผัส Delta และการปรับความโค้งด้วย Gamma เส้นโค้งมูลค่าออปชันที่มีเส้นสัมผัส Delta และการปรับความโค้งด้วย Gamma
การประมาณด้วย Delta-Gamma เป็นค่าเฉพาะที่ ส่วนการประเมินราคาใหม่เต็มรูปแบบใช้ควบคุมสถานการณ์ที่มีขนาดจำกัด

บัญชีการประมาณที่สอดคล้องทั้งเครื่องหมายและหน่วย

ให้ q_i เป็นจำนวนสัญญาออปชันที่มีเครื่องหมาย โดยเป็นบวกสำหรับสถานะ long และเป็นลบสำหรับสถานะ short ให้ M_i เป็นตัวคูณพรีเมียมที่สอดคล้อง และให้ h เป็นหน่วยสินทรัพย์อ้างอิงที่มีเครื่องหมาย สำหรับสิทธิเรียกร้องบนพิกัดราคาเดียวกันที่สอดคล้องกัน Delta ของสถานะคือ D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i Gamma ของสถานะคือ G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i และประมาณการเฉพาะที่ของสถานะคือ ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)² หุ้นให้ Delta +1 ต่อหน่วย long และ Gamma 0

  1. ล็อก series ที่แท้จริง เวลา เครื่องหมายของสถานะ จำนวน ตัวคูณ สิ่งส่งมอบ สกุลเงิน รูปแบบการใช้สิทธิ วิธีชำระราคา พิกัดราคา และรุ่นของโมเดล สัญลักษณ์ที่คล้ายกันไม่ได้พิสูจน์ว่าสิทธิเรียกร้องสอดคล้องกัน
  2. ตรึงสถานะโมเดลและแบบแผนของ shock ได้แก่ spot หรือ forward อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล ต้นทุนการยืม เวลาที่แท้จริงถึงวันหมดอายุ พื้นผิวความผันผวน กฎ sticky-strike หรือ sticky-delta และการจัดการเหตุการณ์ไม่ต่อเนื่อง การเปลี่ยนแปลงเวลาและความผันผวนพร้อมกันไม่ใช่สถานการณ์ Delta-Gamma ของ spot เพียงอย่างเดียว
  3. ปรับแต่ละขาให้เป็นค่า Greek ต่อหน่วยที่สอดคล้องกัน แยก Delta แบบ spot, forward, futures, ปรับด้วยพรีเมียม และแบบเงินสด แยก Gamma ต่อ $1 ต่อจุดดัชนี ต่อจุด futures หรือ 1% spot move และแยกค่าจากผู้ให้ข้อมูลที่อาจรวมจำนวนหรือตัวคูณไว้แล้ว
  4. รวมค่าด้วย q_i × M_i ที่มีเครื่องหมาย แล้วเพิ่มการป้องกันความเสี่ยงด้วยสินทรัพย์อ้างอิงแยกต่างหาก อย่าหักกลบสกุลเงิน พิกัด วันหมดอายุ วิธีชำระราคา หรือพื้นผิวที่ปรับเทียบแยกกันซึ่งไม่เหมือนกัน เพียงเพราะ dashboard แสดงเป็นเลขเดียว
  5. สำหรับหลายปัจจัยเสี่ยง x ใช้รูปแบบ gradient และ Hessian ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx ใน Hessian แบบสมมาตร คู่ที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมถูกนับ 2 ครั้งภายในรูปแบบกำลังสอง ดังนั้นส่วนร่วมแบบง่ายคือ Gamma_AB × ΔA × ΔB ไม่ใช่ศูนย์และไม่ใช่การคูณค่านี้ด้วย 2 ซ้ำอีกครั้ง
  6. ตรวจสอบค่า Greek ของโมเดลที่ราบรื่นด้วย centered bump โดยใช้ Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) และ Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε² เปลี่ยน ε เพื่อเผยผลของ truncation, cancellation, grid และการปรับเทียบพื้นผิวใหม่
  7. ประเมินราคาใหม่เต็มรูปแบบทุกขาสำหรับสถานการณ์ที่มีขนาดจำกัดและกระทบยอด residual สำหรับการซื้อขาย ให้แทนราคาจากโมเดลด้วยราคา bid-ask ที่ดำเนินการได้ และรวม fill ค่าธรรมเนียม slippage ของการป้องกันความเสี่ยง การยืม เงินปันผล assignment การใช้สิทธิ กระแสเงินสดจากการชำระราคา ภาษี และค่า Greek หลัง shock

การเพิ่ม Vega × ΔIV หรือ Theta × Δt ใช้ได้ต่อเมื่อกำหนดหน่วยความผันผวน หน่วยเวลา และทิศทางของอนุพันธ์ตามเวลาแล้วเท่านั้น ถึงกระนั้นก็อาจยังละ Vanna, Vomma, Charm การเปลี่ยนรูปร่าง skew พจน์ไขว้ และอันดับที่สูงกว่า การแบ่ง shock ขนาดใหญ่เป็นหลายขั้นช่วยได้ก็ต่อเมื่ออัปเดตสถานะและค่า Greek ทั้งหมด และยังคงเป็นการประมาณที่อาจขึ้นกับเส้นทาง

ตัวอย่างคำนวณ

  • Call หนึ่งสัญญาเทียบกับการประเมินราคาใหม่เต็มรูปแบบ call ยุโรปมี S = 100, K = 100, r = 4% อัตราผลตอบแทนต่อเนื่อง y = 1%, σ = 25% และ τ = 0.5 เกณฑ์ Black-Scholes ให้ V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 และ Gamma_i = 0.0221205770 เมื่อ ΔS = +5 พจน์ Delta คือ 2.8296615855 พจน์ Gamma คือ 0.2765072125 และประมาณการคือ ΔV_DG = 3.1061687980 ดังนั้นมูลค่าประมาณการคือ 10.8277210283 การประเมินราคาใหม่เต็มรูปแบบโดยคง IV ให้ V_1 = 10.8172471731 เปลี่ยน 3.0956949428 และมี residual full − DG = −0.0104738552 ต่อหุ้น หรือ −$1.047386 ต่อ M = 100 หาก IV ที่ปลายทางเป็น 30% แทน มูลค่าเต็มคือ 12.1628459929 และการเปลี่ยนแปลงรวม 4.4412937626 ประมาณการจาก spot เดิมเพียงอย่างเดียวละ 1.3351249646 ของการเปลี่ยนสถานะและปฏิสัมพันธ์
  • สถานะ short ที่มีเครื่องหมาย call สถานะ short 6 สัญญามี q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 และ Gamma_i = 0.04 ดังนั้น D_pos = −330 shares และ G_pos = −24 shares per $1 เมื่อ ΔS = +2 พจน์ Delta และ Gamma คือ −$660 และ −$48 รวม −$708 และ Delta ใหม่ประมาณ −378 shares เมื่อ ΔS = −2 พจน์ทั้งสองคือ +$660 และ −$48 รวม +$612 และ Delta ใหม่ประมาณ −282 shares Gamma ติดลบทำให้ส่วนร่วมของความโค้งติดลบทั้ง 2 ทิศทาง แต่ไม่ได้ทำให้กำไรขาดทุนรวมสมมาตร
  • ออปชันร่วมกับการป้องกันความเสี่ยงด้วยหุ้น ถือ call 4 สัญญาที่มี Delta_i = 0.35 และ Gamma_i = 0.025 short put 3 สัญญาที่มี Delta_i = −0.40 และ Gamma_i = 0.030 ใช้ M = 100 และ short 200 shares Delta ของออปชันคือ +140 + 120 = +260 shares ส่วน D_pos = +60 shares Gamma คือ +10 − 9 = +1 share per $1 เมื่อ ΔS = +5 ประมาณการสถานะคือ 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50 และ Delta ใหม่ประมาณ +65 shares การแจกแจงตามขาคือ +$825.00 จาก call, +$487.50 จาก put และ −$1,000 จากหุ้น ซึ่งกระทบยอดเป็น +$312.50
  • Cross-Gamma ของ 2 ปัจจัย สมมติ ΔA = +2, ΔB = −3, Delta_A = 120, Delta_B = −80, Gamma_AA = 4, Gamma_BB = 2 และค่าแบบสมมาตร Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5 โดยทั้งหมดอยู่ในหน่วยสถานะและสกุลเงินที่สอดคล้องกันแล้ว พจน์เชิงเส้นคือ 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480 ความโค้งบนเส้นทแยงมุมคือ ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17 และพจน์ไขว้แบบง่ายคือ 1.5 × 2 × (−3) = −9 รวมเป็น 488 การละ cross-Gamma ให้ 497 ส่วนการคูณพจน์ไขว้แบบง่ายด้วย 2 ซ้ำอีกครั้งให้ 479

ความเสี่ยงและการควบคุม

  • series, root, วันหมดอายุ, ราคาใช้สิทธิ, ประเภทออปชัน หรือสิ่งส่งมอบที่ผิดทำให้การประมาณใช้ไม่ได้
  • การละเครื่องหมายของสถานะจะกลับ Delta, Gamma ทิศทางป้องกันความเสี่ยง และการแจกแจงผล
  • จำนวนสัญญาและตัวคูณพรีเมียมอาจถูกนับซ้ำหรือถูกละเลย
  • สัญญาที่ถูกปรับ ออปชันบน futures และค่า Greek รวมจากผู้ให้ข้อมูลอาจใช้หน่วยที่ไม่เป็นมาตรฐาน
  • พิกัดแบบ spot, forward, futures, log-price, ปรับด้วยพรีเมียม และแบบเงินสดใช้แทนกันไม่ได้
  • shock ของราคาแบบสัมบูรณ์แตกต่างจาก shock แบบร้อยละหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
  • สกุลเงินและการแปลง FX อาจทำให้ค่า Greek ที่ดูเหมือนเปรียบเทียบกันได้ไม่สอดคล้องกัน
  • เวลาที่ต่างกันหรือราคาสินทรัพย์อ้างอิง พื้นผิว และออปชันที่ล้าสมัยสร้างการหักกลบที่ไม่จริง
  • กฎ sticky-strike, sticky-delta, skew และโครงสร้างตามอายุเปลี่ยน sensitivity ที่วัดได้
  • อัตราดอกเบี้ย เงินปันผล ต้นทุนการยืม เงินทุน และเวลาหมดอายุที่แท้จริงมีผลต่อมูลค่าและค่า Greek
  • พจน์เวลาและความผันผวนอาจมีเครื่องหมายตรงข้ามหรือตัวประกอบ 100 ภายใต้หน่วยจากผู้ให้ข้อมูลที่ต่างกัน
  • การใช้สิทธิแบบอเมริกันและเงินปันผลไม่ต่อเนื่องสร้างขอบเขตที่ไม่มีในสูตรยุโรปที่ราบรื่น
  • สิทธิเรียกร้องแบบ digital, barrier และแบบไม่ต่อเนื่องอื่นอาจมี Gamma ที่ไม่เสถียรหรือคล้ายการแจกแจง
  • ใกล้หมดอายุ Gamma และผลต่างจำกัดอาจขึ้นกับราคาใช้สิทธิและ grid อย่างมาก
  • shock ขนาดใหญ่เผยอันดับ 3 และสูงกว่าที่ค่า Greek เริ่มต้นคงที่ละไว้
  • การกระโดด ช่องว่าง และการหยุดซื้อขายข้ามสมมติฐานการปรับสมดุลเฉพาะที่ต่อเนื่อง
  • Cross-Gamma สหสัมพันธ์ และการจับคู่ปัจจัยอาจถูกละหรือถูกนับซ้ำในพอร์ตหลายสินทรัพย์
  • bump ผลต่างจำกัดที่ใหญ่เกินไปเพิ่ม truncation error ส่วน bump ที่เล็กเกินไปเพิ่ม cancellation noise
  • ราคาจากโมเดลและค่า Greek ไม่รับประกันราคา ขนาด หรือสภาพคล่องของการป้องกันความเสี่ยงที่ดำเนินการได้
  • การป้องกันความเสี่ยงแบบพลวัต ค่าธรรมเนียม ผลกระทบต่อตลาด การยืม assignment การชำระราคา รุ่นโมเดล และบันทึกโบรกเกอร์ต้องกระทบยอดขั้นสุดท้าย

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

  • “พจน์ Gamma คือ Gamma_i × (ΔS)²” สัมประสิทธิ์ Taylor คือ ½
  • “Gamma บวกรับประกันกำไรทั้ง 2 ทิศทาง” ในระดับเฉพาะที่ Gamma เพิ่มมูลค่าเมื่อเทียบกับเส้นสัมผัส แต่ Delta พรีเมียม เวลา ความผันผวน ต้นทุน และเส้นทางยังมีผล
  • “Delta-neutral หมายถึงไร้ความเสี่ยง” สถานะนี้กำจัดพจน์อันดับหนึ่งปัจจุบันเพียงพจน์เดียว ไม่ได้กำจัด Gamma, Vega, Theta การกระโดด basis สภาพคล่อง หรือความเสี่ยงของโมเดล
  • “การเพิ่ม Vega และ Theta ที่แสดงอยู่ทำให้ประมาณการกำไรขาดทุนสมบูรณ์” หน่วย ทิศทางอนุพันธ์ sensitivity ไขว้ การเปลี่ยนพื้นผิว และอันดับสูงกว่าต้องตรงกันด้วย
  • “ค่า Greek ที่แม่นยำหรือขั้นเล็กซ้ำๆ แทนการประเมินราคาใหม่เต็มรูปแบบได้” สิ่งเหล่านี้ช่วยปรับปรุงการแจกแจงผล แต่สถานการณ์ที่มีขนาดจำกัด การดำเนินการ และเหตุการณ์วงจรชีวิตยังต้องใช้การประเมินมูลค่าและการกระทบยอดเต็มรูปแบบ

หัวข้อที่เกี่ยวข้อง

แหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้

การนำทาง

ค้นหาในวิกิ...