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Approximation Delta-Gamma : P&L local, unités et revalorisation

Estimez les variations locales de valeur des options et portefeuilles avec Delta et Gamma signés, Gamma croisé, unités compatibles, contrôles par différences finies et revalorisation complète.

Mis à jour

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Pour une valeur de modèle V_i(S, x) à horodatage et état de modèle fixes, l’approximation Delta-Gamma à un facteur est ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)². Ici, Delta_i = ∂V_i / ∂S, Gamma_i = ∂²V_i / ∂S², et ΔS est un mouvement absolu dans la même coordonnée de prix du sous-jacent que celle utilisée par les dérivées.

La formule est une estimation Taylor locale du second ordre de la variation de valeur du modèle. Ce n’est ni une prévision, ni une probabilité, ni un P&L exécutable, ni un substitut à la revalorisation complète. Son interprétation exige le droit exact, la position signée, le multiplicateur, la devise, la coordonnée, la surface de volatilité, le temps, les taux, dividendes, coûts d’emprunt, le modèle d’exercice, le règlement et l’échelle du fournisseur.

Courbe de valeur d’une option avec une tangente Delta et une correction de courbure Gamma Courbe de valeur d’une option avec une tangente Delta et une correction de courbure Gamma
L’estimation Delta-Gamma est locale ; la revalorisation complète contrôle un scénario fini.

Registre d’approximation cohérent en signes et en unités

Soit q_i le nombre signé de contrats d’options, positif pour une position longue et négatif pour une position courte ; M_i le multiplicateur de prime compatible ; et h le nombre signé d’unités du sous-jacent. Pour des droits sur une coordonnée de prix compatible, le Delta de position est D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i, le Gamma de position est G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i, et l’estimation locale de la position est ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)². Une action contribue un Delta de +1 par unité longue et un Gamma de 0.

  1. Figez chaque série exacte, l’horodatage, le signe de position, la quantité, le multiplicateur, le livrable, la devise, le style d’exercice, la méthode de règlement, la coordonnée de prix et la version du modèle. Des symboles similaires ne rendent pas les droits compatibles.
  2. Figez l’état du modèle et la convention de choc : spot ou forward, taux, dividendes, emprunt, temps exact jusqu’à l’échéance, surface de volatilité, règle sticky-strike ou sticky-delta et traitement des événements discrets. Un mouvement simultané du temps ou de la volatilité n’est pas un scénario Delta-Gamma spot pur.
  3. Normalisez chaque jambe en grecques compatibles par unité. Distinguez les Delta spot, forward, futures, ajusté de la prime et cash ; le Gamma par $1, point d’indice, point de futures ou 1% spot move ; et les valeurs du fournisseur qui peuvent déjà inclure quantité ou multiplicateur.
  4. Agrégez avec le q_i × M_i signé, puis ajoutez séparément la couverture du sous-jacent. Ne compensez pas des devises, coordonnées, échéances, types de règlement ou surfaces calibrées indépendamment qui sont incompatibles uniquement parce qu’un tableau de bord affiche un seul nombre.
  5. Pour plusieurs facteurs de risque x, utilisez la forme gradient-hessienne ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx. Dans une hessienne symétrique, la paire hors diagonale est comptée deux fois dans la forme quadratique ; sa contribution simplifiée est donc Gamma_AB × ΔA × ΔB, ni zéro ni deux fois cette valeur à nouveau.
  6. Validez les grecques des modèles réguliers par perturbations centrées : Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) et Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε². Faites varier ε pour révéler les effets de troncature, d’annulation, de grille et de recalibrage de surface.
  7. Revalorisez complètement chaque jambe pour les scénarios finis et rapprochez le résidu. Pour négocier, remplacez les marques de modèle par des prix bid-ask exécutables et incluez exécutions, commissions, slippage de couverture, emprunt, dividendes, assignation, exercice, flux de règlement, fiscalité et grecques après le choc.

Ajouter Vega × ΔIV ou Theta × Δt n’est valable qu’après avoir défini les unités de volatilité et de temps ainsi que le sens de la dérivée temporelle. Cela peut encore omettre Vanna, Vomma, Charm, la déformation du skew, les termes croisés et les ordres supérieurs. Découper un choc important en étapes n’aide que si l’intégralité de l’état et des grecques est actualisée ; cela reste une approximation et peut dépendre de la trajectoire.

Exemples détaillés

  • Un call face à la revalorisation complète. Un call européen a S = 100, K = 100, r = 4%, un rendement continu y = 1%, σ = 25% et τ = 0.5. Une référence Black-Scholes donne V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 et Gamma_i = 0.0221205770. Pour ΔS = +5, le terme Delta est 2.8296615855, le terme Gamma 0.2765072125 et l’estimation ΔV_DG = 3.1061687980, soit une valeur estimée de 10.8277210283. La revalorisation complète à volatilité implicite inchangée donne V_1 = 10.8172471731, une variation de 3.0956949428 et un résidu full − DG = −0.0104738552 par action ou −$1.047386 par M = 100. Si la volatilité implicite finale est plutôt 30%, la valeur complète est 12.1628459929 et la variation totale 4.4412937626 ; l’estimation spot initiale omet 1.3351249646 de variation d’état et d’interaction.
  • Position courte signée. Six calls courts ont q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 et Gamma_i = 0.04, donc D_pos = −330 shares et G_pos = −24 shares per $1. Pour ΔS = +2, les termes Delta et Gamma sont −$660 et −$48, soit −$708, et le Delta actualisé est proche de −378 shares. Pour ΔS = −2, ils sont +$660 et −$48, soit +$612, et le Delta actualisé est proche de −282 shares. Un Gamma négatif rend la contribution de courbure négative dans les deux directions ; il ne rend pas le P&L total symétrique.
  • Options avec couverture en actions. Détenez quatre calls avec Delta_i = 0.35 et Gamma_i = 0.025, vendez trois puts avec Delta_i = −0.40 et Gamma_i = 0.030, utilisez M = 100 et vendez à découvert 200 shares. Le Delta des options est +140 + 120 = +260 shares ; le Delta net est D_pos = +60 shares. Le Gamma est +10 − 9 = +1 share per $1. Pour ΔS = +5, l’estimation de position est 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50, et le Delta actualisé proche de +65 shares. L’attribution par jambe est +$825.00 pour les calls, +$487.50 pour les puts et −$1,000 pour les actions, ce qui se rapproche à +$312.50.
  • Gamma croisé à deux facteurs. Supposons ΔA = +2, ΔB = −3, Delta_A = 120, Delta_B = −80, Gamma_AA = 4, Gamma_BB = 2 et Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5 symétriques, tous déjà en unités compatibles de position et de devise. Le terme linéaire est 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480 ; la courbure diagonale est ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17 ; le terme croisé simplifié est 1.5 × 2 × (−3) = −9. Le total est 488. Omettre le Gamma croisé donne 497 ; multiplier à nouveau par deux le terme croisé simplifié donne 479.

Risques et contrôles

  • Une série, un symbole racine, une échéance, un prix d’exercice, un type d’option ou un livrable incorrects invalident l’approximation.
  • Omettre le signe de position inverse Delta, Gamma, direction de la couverture et attribution.
  • La quantité de contrats et le multiplicateur de prime peuvent être comptés deux fois ou omis.
  • Les contrats ajustés, options sur futures et grecques agrégées par le fournisseur peuvent employer des unités non standard.
  • Les coordonnées spot, forward, futures, log-prix, ajustées de la prime et cash ne sont pas interchangeables.
  • Un choc de prix absolu diffère d’un choc en pourcentage ou en écart-type.
  • La devise et la conversion FX peuvent rendre incohérentes des grecques apparemment comparables.
  • Des horodatages différents ou marques périmées du sous-jacent, de la surface et de l’option créent de fausses compensations.
  • Les règles sticky-strike, sticky-delta, de skew et de structure par terme modifient la sensibilité mesurée.
  • Taux, dividendes, emprunt, financement et heure exacte d’échéance influencent valeurs et grecques.
  • Les termes de temps et de volatilité peuvent présenter des signes opposés ou des facteurs de 100 selon les unités du fournisseur.
  • L’exercice américain et les dividendes discrets créent des frontières absentes d’une formule européenne régulière.
  • Les droits digitaux, à barrière et autres droits discontinus peuvent avoir un Gamma instable ou assimilable à une distribution.
  • Près de l’échéance, Gamma et différences finies peuvent dépendre fortement du prix d’exercice et de la grille.
  • Les chocs importants révèlent des ordres trois et supérieurs omis par les grecques initiales fixes.
  • Les sauts, gaps et suspensions contournent les hypothèses de rééquilibrage local continu.
  • Gamma croisé, corrélation et correspondance des facteurs peuvent être omis ou comptés deux fois dans les portefeuilles multi-actifs.
  • Des perturbations de différences finies trop grandes ajoutent une erreur de troncature ; les minuscules ajoutent un bruit d’annulation.
  • Les marques et grecques du modèle ne garantissent ni prix exécutable, ni taille, ni liquidité de couverture.
  • Couverture dynamique, commissions, impact, emprunt, assignation, règlement, versions du modèle et écritures du courtier exigent un rapprochement final.

Idées reçues

  • « Le terme Gamma est Gamma_i × (ΔS)². » Le coefficient de Taylor est ½.
  • « Un Gamma positif garantit un profit dans les deux directions. » Il améliore localement la valeur par rapport à la tangente ; Delta, prime, temps, volatilité, coûts et trajectoire restent déterminants.
  • « Delta-neutre signifie sans risque. » Cela supprime un terme courant du premier ordre, pas Gamma, Vega, Theta, sauts, base, liquidité ou risque de modèle.
  • « Ajouter n’importe quels Vega et Theta affichés complète l’estimation du P&L. » Unités, sens de dérivation, sensibilités croisées, changements de surface et ordres supérieurs doivent aussi correspondre.
  • « Des grecques précises ou de petits pas répétés remplacent la revalorisation complète. » Ils améliorent l’attribution, mais scénarios finis, exécution et cycle de vie exigent toujours une valorisation et un rapprochement complets.

Sujets connexes

Sources de référence

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