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Aproximación Delta-Gamma: P&L local, unidades y revaloración

Estime cambios locales de valor de opciones y carteras con Delta y Gamma con signo, Gamma cruzada, unidades compatibles, comprobaciones por diferencias finitas y controles de revaloración completa.

Actualizado

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

Para un valor de modelo V_i(S, x) en una marca temporal y un estado del modelo fijos, la aproximación Delta-Gamma de un factor es ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)². Aquí, Delta_i = ∂V_i / ∂S, Gamma_i = ∂²V_i / ∂S² y ΔS es un movimiento absoluto en la misma coordenada de precio del subyacente que usan las derivadas.

La fórmula es una estimación local de Taylor de segundo orden del cambio de valor del modelo. No es una previsión, probabilidad, P&L ejecutable ni sustituto de una revaloración completa. Interpretarla exige conocer el derecho exacto, posición con signo, multiplicador, divisa, coordenada, superficie de volatilidad, tiempo, tipos, dividendos, préstamo, modelo de ejercicio, liquidación y escala del proveedor.

Curva del valor de una opción con una tangente Delta y una corrección de curvatura Gamma Curva del valor de una opción con una tangente Delta y una corrección de curvatura Gamma
La estimación Delta-Gamma es local; la revaloración completa controla un escenario finito.

Registro de aproximación con signo y unidades coherentes

Sea q_i el número de contratos de opciones con signo, positivo en largo y negativo en corto; M_i el multiplicador de prima compatible; y h las unidades del subyacente con signo. Para derechos sobre una coordenada de precio compatible, la Delta de posición es D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i, la Gamma de posición es G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i, y la estimación local de la posición es ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)². Una acción aporta Delta +1 por unidad larga y Gamma 0.

  1. Fije cada serie exacta, marca temporal, signo de posición, cantidad, multiplicador, entregable, divisa, estilo de ejercicio, método de liquidación, coordenada de precio y versión del modelo. Símbolos similares no establecen derechos compatibles.
  2. Congele el estado del modelo y la convención del shock: spot o forward, tipos, dividendos, préstamo, tiempo exacto hasta vencimiento, superficie de volatilidad, regla sticky-strike o sticky-delta y tratamiento de eventos discretos. Un movimiento simultáneo del tiempo o la volatilidad no es un escenario Delta-Gamma spot puro.
  3. Normalice cada pata a griegas por unidad compatibles. Distinga Delta spot, forward, de futuros, ajustada por prima y en efectivo; Gamma por $1, punto de índice, punto de futuro o 1% spot move; y valores del proveedor que ya pueden incluir cantidad o multiplicador.
  4. Agregue con q_i × M_i con signo y añada después la cobertura del subyacente por separado. No compense divisas, coordenadas, vencimientos, tipos de liquidación o superficies calibradas independientemente que no sean comparables solo porque un panel muestre un único número.
  5. Para varios factores de riesgo x, use la forma de gradiente y hessiano ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx. En un hessiano simétrico, el par fuera de diagonal se cuenta dos veces dentro de la forma cuadrática, por lo que su contribución simplificada es Gamma_AB × ΔA × ΔB, no cero ni el doble otra vez.
  6. Valide las griegas de modelos suaves con perturbaciones centradas: Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) y Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε². Varíe ε para revelar efectos de truncamiento, cancelación, malla y recalibración de superficie.
  7. Revalore por completo cada pata en escenarios finitos y concilie el residual. Para negociar, sustituya las marcas de modelo por precios bid-ask ejecutables e incluya ejecuciones, comisiones, deslizamiento de la cobertura, préstamo, dividendos, asignación, ejercicio, flujos de liquidación, impuestos y griegas posteriores al shock.

Añadir Vega × ΔIV o Theta × Δt solo es válido después de definir las unidades de volatilidad y tiempo y la dirección de la derivada temporal. Aun así puede omitir Vanna, Vomma, Charm, cambios de forma del skew, términos cruzados y órdenes superiores. Dividir un shock grande en pasos solo ayuda si se actualizan todo el estado y las griegas; sigue siendo una aproximación y puede depender de la trayectoria.

Ejemplos resueltos

  • Una call frente a la revaloración completa. Una call europea tiene S = 100, K = 100, r = 4%, rendimiento continuo y = 1%, σ = 25% y τ = 0.5. Una referencia Black-Scholes da V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 y Gamma_i = 0.0221205770. Para ΔS = +5, el término Delta es 2.8296615855, el término Gamma es 0.2765072125 y la estimación es ΔV_DG = 3.1061687980, por lo que el valor estimado es 10.8277210283. La revaloración completa con la misma volatilidad implícita da V_1 = 10.8172471731, cambio 3.0956949428 y residual full − DG = −0.0104738552 por acción o −$1.047386 por M = 100. Si la volatilidad implícita final es 30%, el valor completo es 12.1628459929 y el cambio total 4.4412937626; la estimación spot original omite 1.3351249646 de cambio de estado e interacción.
  • Posición corta con signo. Seis calls cortas tienen q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 y Gamma_i = 0.04, por lo que D_pos = −330 shares y G_pos = −24 shares per $1. Para ΔS = +2, los términos Delta y Gamma son −$660 y −$48, el total −$708, y la Delta actualizada es cercana a −378 shares. Para ΔS = −2, son +$660 y −$48, el total +$612, y la Delta actualizada es cercana a −282 shares. Gamma negativa hace negativa la aportación de curvatura en ambas direcciones; no vuelve simétrico el P&L total.
  • Opciones más cobertura en acciones. Mantiene cuatro calls con Delta_i = 0.35 y Gamma_i = 0.025, tres puts cortas con Delta_i = −0.40 y Gamma_i = 0.030, usa M = 100 y mantiene cortas 200 shares. La Delta de opciones es +140 + 120 = +260 shares; la neta es D_pos = +60 shares. La Gamma es +10 − 9 = +1 share per $1. Para ΔS = +5, la estimación de la posición es 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50, y la Delta actualizada es cercana a +65 shares. La atribución por patas es +$825.00 de las calls, +$487.50 de las puts y −$1,000 de las acciones, que concilia con +$312.50.
  • Gamma cruzada de dos factores. Suponga ΔA = +2, ΔB = −3, Delta_A = 120, Delta_B = −80, Gamma_AA = 4, Gamma_BB = 2 y Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5 simétricas, todo ya expresado en unidades compatibles de posición y divisa. El término lineal es 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480; la curvatura diagonal es ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17; y el término cruzado simplificado es 1.5 × 2 × (−3) = −9. El total es 488. Omitir Gamma cruzada da 497; volver a multiplicar por dos el término cruzado simplificado da 479.

Riesgos y controles

  • Una serie, símbolo raíz, vencimiento, precio de ejercicio, tipo de opción o entregable incorrectos invalidan la aproximación.
  • Omitir el signo de posición invierte Delta, Gamma, dirección de cobertura y atribución.
  • La cantidad de contratos y el multiplicador de prima pueden contarse dos veces u omitirse.
  • Los contratos ajustados, opciones sobre futuros y griegas agregadas por el proveedor pueden usar unidades no estándar.
  • Las coordenadas spot, forward, de futuros, log-precio, ajustada por prima y en efectivo no son intercambiables.
  • Un shock de precio absoluto difiere de uno porcentual o de desviación estándar.
  • La divisa y conversión FX pueden volver incoherentes griegas aparentemente comparables.
  • Marcas temporales distintas o marcas obsoletas del subyacente, superficie y opción crean compensaciones falsas.
  • Las reglas sticky-strike, sticky-delta, skew y estructura temporal cambian la sensibilidad medida.
  • Tipos, dividendos, préstamo, financiación y hora exacta de vencimiento afectan valores y griegas.
  • Los términos de tiempo y volatilidad pueden tener signos opuestos o factores de 100 con unidades de proveedor distintas.
  • El ejercicio americano y los dividendos discretos crean límites ausentes de una fórmula europea suave.
  • Los derechos digitales, con barrera y otros discontinuos pueden tener Gamma inestable o similar a una distribución.
  • Cerca del vencimiento, Gamma y las diferencias finitas pueden depender mucho del strike y la malla.
  • Los shocks grandes revelan órdenes tercero y superiores que omiten las griegas iniciales fijas.
  • Saltos, gaps y suspensiones eluden los supuestos de rebalanceo local continuo.
  • Gamma cruzada, correlación y mapeo de factores pueden omitirse o duplicarse en carteras multiactivo.
  • Perturbaciones de diferencias finitas demasiado grandes añaden error de truncamiento; las diminutas añaden ruido de cancelación.
  • Marcas y griegas del modelo no garantizan precio ejecutable, tamaño ni liquidez de cobertura.
  • Cobertura dinámica, comisiones, impacto, préstamo, asignación, liquidación, versiones de modelo y registros del bróker exigen conciliación final.

Errores frecuentes

  • «El término Gamma es Gamma_i × (ΔS)²». El coeficiente de Taylor es ½.
  • «Gamma positiva garantiza beneficio en ambas direcciones». Mejora localmente el valor respecto a la tangente; Delta, prima, tiempo, volatilidad, costes y trayectoria siguen importando.
  • «Delta-neutral significa sin riesgo». Elimina un término actual de primer orden, no Gamma, Vega, Theta, saltos, base, liquidez o riesgo de modelo.
  • «Añadir cualquier Vega y Theta mostradas completa la estimación de P&L». También deben coincidir unidades, dirección de derivada, sensibilidades cruzadas, cambios de superficie y órdenes superiores.
  • «Griegas precisas o pequeños pasos repetidos sustituyen la revaloración completa». Mejoran la atribución, pero los escenarios finitos, ejecución y ciclo de vida aún exigen valoración y conciliación completas.

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