Перейти к содержанию
Financial Context Wiki

Дельта-гамма-приближение: локальный P/L, единицы и переоценка

Оценивайте локальные изменения стоимости опционов и портфеля с помощью знаковых дельты, гаммы и кросс-гаммы, совместимых единиц, конечно-разностных проверок и контроля полной переоценкой.

Обновлено

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Для модельной стоимости V_i(S, x) при фиксированных временной отметке и состоянии модели однофакторное дельта-гамма-приближение имеет вид ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)². Здесь Delta_i = ∂V_i / ∂S, Gamma_i = ∂²V_i / ∂S², а ΔS — абсолютное движение в той же ценовой координате базового актива, по которой рассчитаны производные.

Формула представляет собой локальную оценку Тейлора второго порядка для изменения модельной стоимости. Это не прогноз, вероятность, исполнимый P/L или замена полной переоценки. Для ее интерпретации нужны точное требование, знак позиции, множитель, валюта, координата, поверхность волатильности, время, ставки, дивиденды, стоимость заимствования, модель исполнения, расчет и масштаб поставщика.

Кривая стоимости опциона с касательной дельты и поправкой на кривизну гаммы Кривая стоимости опциона с касательной дельты и поправкой на кривизну гаммы
Дельта-гамма-оценка локальна; полная переоценка контролирует конечный сценарий.

Ведомость приближения с согласованными знаками и единицами

Пусть q_i — знаковое число опционных контрактов, положительное для длинной и отрицательное для короткой позиции; M_i — совместимый множитель премии; h — знаковое число единиц базового актива. Для требований на одну совместимую ценовую координату дельта позиции равна D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i, гамма позиции — G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i, а локальная оценка позиции — ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)². Дельта одной длинной единицы акции равна +1, гамма — 0.

  1. Зафиксируйте каждую точную серию, временную отметку, знак позиции, количество, множитель, предмет поставки, валюту, стиль исполнения, способ расчета, ценовую координату и версию модели. Сходные символы не доказывают совместимость требований.
  2. Заморозьте состояние модели и соглашение о шоке: спот или форвард, ставки, дивиденды, стоимость заимствования, точное время до экспирации, поверхность волатильности, правило sticky-strike или sticky-delta и обработку дискретных событий. Одновременное изменение времени или волатильности не является чистым спотовым дельта-гамма-сценарием.
  3. Нормализуйте каждую ногу к совместимым грекам на единицу. Различайте спотовую, форвардную, фьючерсную, скорректированную на премию и денежную дельты; гамму на $1, пункт индекса, пункт фьючерса или 1% spot move; и данные поставщика, которые уже могут включать количество или множитель.
  4. Агрегируйте со знаковым q_i × M_i, затем отдельно добавьте хедж базовым активом. Не неттируйте несходные валюты, координаты, экспирации, способы расчета или независимо калиброванные поверхности только потому, что панель показывает одно число.
  5. Для нескольких факторов риска x используйте форму градиента и матрицы Гессе ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx. В симметричной матрице Гессе внедиагональная пара учитывается внутри квадратичной формы дважды, поэтому ее упрощенный вклад равен Gamma_AB × ΔA × ΔB, а не нулю и не удвоенной повторно величине.
  6. Проверяйте греки гладкой модели центральными сдвигами: Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) и Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε². Меняйте ε, чтобы выявить эффекты ошибки усечения, потери значимости, сетки и повторной калибровки поверхности.
  7. Полностью переоценивайте каждую ногу для конечных сценариев и сверяйте остаток. Для торговли заменяйте модельные отметки исполнимыми ценами bid-ask и учитывайте исполнения, комиссии, проскальзывание хеджа, заимствование, дивиденды, назначение, исполнение, расчетные денежные потоки, налоги и греки после шока.

Добавлять Vega × ΔIV или Theta × Δt можно только после определения единиц волатильности и времени и направления производной по времени. Даже тогда могут быть упущены ванна, вомма, шарм, изменение формы скью, перекрестные члены и высшие порядки. Разбиение большого шока на шаги помогает лишь при обновлении всего состояния и греков; оно остается приближением и может зависеть от пути.

Разобранные примеры

  • Один колл против полной переоценки. Европейский колл имеет S = 100, K = 100, r = 4%, непрерывную доходность y = 1%, σ = 25% и τ = 0.5. Эталон Блэка-Шоулза дает V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 и Gamma_i = 0.0221205770. При ΔS = +5 член дельты равен 2.8296615855, член гаммы — 0.2765072125, а оценка — ΔV_DG = 3.1061687980, поэтому оценочная стоимость равна 10.8277210283. Полная переоценка при той же IV дает V_1 = 10.8172471731, изменение 3.0956949428 и остаток full − DG = −0.0104738552 на акцию, или −$1.047386 при M = 100. Если конечная IV вместо этого равна 30%, полная стоимость составляет 12.1628459929, общее изменение — 4.4412937626; исходная оценка только по споту упускает 1.3351249646 изменения состояния и взаимодействия.
  • Знаковая короткая позиция. Шесть коротких коллов имеют q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 и Gamma_i = 0.04, поэтому D_pos = −330 shares, а G_pos = −24 shares per $1. При ΔS = +2 члены дельты и гаммы равны −$660 и −$48, итог — −$708, обновленная дельта — около −378 shares. При ΔS = −2 они равны +$660 и −$48, итог — +$612, обновленная дельта — около −282 shares. Отрицательная гамма делает вклад кривизны отрицательным в обоих направлениях, но не делает общий P/L симметричным.
  • Опционы вместе с хеджем акциями. Держите четыре колла с Delta_i = 0.35 и Gamma_i = 0.025, продайте три пута с Delta_i = −0.40 и Gamma_i = 0.030, используйте M = 100 и продайте 200 shares без покрытия. Опционная дельта равна +140 + 120 = +260 shares; чистая D_pos = +60 shares. Гамма равна +10 − 9 = +1 share per $1. При ΔS = +5 оценка позиции составляет 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50, а обновленная дельта — около +65 shares. Атрибуция по ногам равна +$825.00 от коллов, +$487.50 от путов и −$1,000 от акций, что сверяется с +$312.50.
  • Двухфакторная кросс-гамма. Пусть ΔA = +2, ΔB = −3, Delta_A = 120, Delta_B = −80, Gamma_AA = 4, Gamma_BB = 2, а симметричная Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5; все величины уже выражены в совместимых единицах позиции и валюты. Линейный член равен 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480; диагональная кривизна — ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17; упрощенный перекрестный член — 1.5 × 2 × (−3) = −9. Итог равен 488. При исключении кросс-гаммы получается 497; при повторном удвоении упрощенного перекрестного члена — 479.

Риски и меры контроля

  • Неверная серия, корневой символ, экспирация, страйк, тип опциона или предмет поставки делают приближение недействительным.
  • Пропуск знака позиции меняет знак дельты и гаммы, направление хеджа и атрибуцию.
  • Число контрактов и множитель премии могут быть учтены дважды или пропущены.
  • Скорректированные контракты, опционы на фьючерсы и агрегированные греки поставщика могут использовать нестандартные единицы.
  • Спотовая, форвардная, фьючерсная, логарифмическая, скорректированная на премию и денежная координаты не взаимозаменяемы.
  • Абсолютный ценовой шок отличается от процентного шока или шока в стандартных отклонениях.
  • Валюта и конвертация FX могут сделать внешне сопоставимые греки несогласованными.
  • Разные временные отметки или устаревшие отметки базового актива, поверхности и опциона создают ложное неттирование.
  • Правила sticky-strike, sticky-delta, скью и срочной структуры меняют измеренную чувствительность.
  • Ставки, дивиденды, заимствование, финансирование и точное время экспирации влияют на стоимости и греки.
  • Члены времени и волатильности могут иметь противоположные знаки или множитель 100 при разных единицах поставщика.
  • Американское исполнение и дискретные дивиденды создают границы, отсутствующие в гладкой европейской формуле.
  • Цифровые, барьерные и другие разрывные требования могут иметь нестабильную или распределенноподобную гамму.
  • Вблизи экспирации гамма и конечные разности могут сильно зависеть от страйка и сетки.
  • Большие шоки выявляют третий и высшие порядки, упущенные фиксированными начальными греками.
  • Скачки, гэпы и приостановки торгов обходят допущения о непрерывной локальной ребалансировке.
  • Кросс-гамма, корреляция и отображение факторов могут быть пропущены или учтены дважды в мультиактивных портфелях.
  • Слишком большие конечно-разностные сдвиги добавляют ошибку усечения, а слишком малые — шум потери значимости.
  • Модельные отметки и греки не гарантируют исполнимую цену, объем или ликвидность хеджа.
  • Динамическое хеджирование, комиссии, влияние на рынок, заимствование, назначение, расчет, версии модели и записи брокера требуют окончательной сверки.

Распространенные заблуждения

  • «Член гаммы равен Gamma_i × (ΔS)²». Коэффициент Тейлора равен ½.
  • «Положительная гамма гарантирует прибыль в любом направлении». Локально она улучшает стоимость относительно касательной; дельта, премия, время, волатильность, затраты и путь по-прежнему важны.
  • «Дельта-нейтральность означает отсутствие риска». Она устраняет один текущий член первого порядка, но не гамму, вегу, тету, скачки, базис, ликвидность или модельный риск.
  • «Добавление любых отображаемых веги и теты завершает оценку P/L». Должны также совпадать единицы, направление производной, перекрестные чувствительности, изменения поверхности и высшие порядки.
  • «Точные греки или повторные малые шаги заменяют полную переоценку». Они улучшают атрибуцию, однако конечные сценарии, исполнение и события жизненного цикла по-прежнему требуют полной оценки и сверки.

Связанные темы

Авторитетные источники

Навигация

Поиск по вики...