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Delta-Gamma近似：局所損益、単位、フル・リプライシング

符号付きDelta、Gamma、クロスGamma、整合する単位、有限差分検証、フル・リプライシングにより、オプションとポートフォリオの局所的な価値変化を推定します。

更新日

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資には損失の可能性があります。

要点

固定した時点とモデル状態におけるモデル価値 V_i(S, x) について、1因子の Delta-Gamma近似は ΔV_i,DG ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)² です。ここで Delta_i = ∂V_i / ∂S、Gamma_i = ∂²V_i / ∂S² であり、ΔS は微分に用いた原資産価格座標と同じ座標上の絶対変化です。

この式は、モデル価値変化を局所的な2次のテイラー展開で推定するものです。予測、確率、約定可能な損益、またはフル・リプライシングの代替ではありません。解釈には、対象となる請求権、符号付きポジション、乗数、通貨、座標、ボラティリティ・サーフェス、時間、金利、配当、借株、行使モデル、決済、ベンダーのスケーリングを正確に特定する必要があります。

Deltaの接線とGammaによる曲率補正を示す曲線状のオプション価値 Deltaの接線とGammaによる曲率補正を示す曲線状のオプション価値
Delta-Gamma推定は局所近似です。有限シナリオはフル・リプライシングで検証します。

符号と単位を揃えた近似台帳

q_i を符号付きオプション契約数（ロングは正、ショートは負）、M_i を整合するプレミアム乗数、h を符号付き原資産単位とします。同一の整合する価格座標に基づく請求権について、ポジションDeltaは D_pos = h + Σ_i q_i × M_i × Delta_i、ポジションGammaは G_pos = Σ_i q_i × M_i × Gamma_i、局所的なポジション推定値は ΔΠ_DG ≈ D_pos × ΔS + ½ × G_pos × (ΔS)² です。株式のロング1単位はDelta +1、Gamma 0 を寄与します。

  1. 個々のシリーズ、時点、ポジションの符号、数量、乗数、受渡対象、通貨、行使方式、決済方法、価格座標、モデル・バージョンを固定します。銘柄記号が似ていても、請求権の整合性は保証されません。
  2. モデル状態とショック規約を固定します。現物かフォワードか、金利、配当、借株、正確な満期までの時間、ボラティリティ・サーフェス、スティッキー・ストライクかスティッキー・デルタか、離散イベントの扱いを明示します。時間またはボラティリティが同時に動く場合、純粋な現物Delta-Gammaシナリオではありません。
  3. 各レッグを単位が整合するグリークスに正規化します。現物、フォワード、先物、プレミアム調整済み、キャッシュDeltaを区別し、Gammaが $1、指数ポイント、先物ポイント、1% spot move のいずれ当たりかを確認します。ベンダー値に数量や乗数がすでに含まれている場合もあります。
  4. 符号付きの q_i × M_i で集計し、原資産ヘッジは別途加えます。画面上で一つの数値に見えるだけで、通貨、座標、満期、決済方式、または独立に較正されたサーフェスが異なるポジションを相殺してはいけません。
  5. 複数のリスク要因 x には、勾配とヘッセ行列による ΔV ≈ gᵀΔx + ½ × ΔxᵀHΔx を用います。対称ヘッセ行列では非対角要素の組が2次形式内で2回数えられるため、簡約した寄与は Gamma_AB × ΔA × ΔB です。ゼロでも、さらに2倍するものでもありません。
  6. 滑らかなモデルのグリークスを中心差分で検証します。Delta_FD ≈ [V(S + ε) − V(S − ε)] / (2ε) および Gamma_FD ≈ [V(S + ε) − 2V(S) + V(S − ε)] / ε² を使い、ε を変化させて打切り誤差、桁落ち、グリッド、サーフェス再較正の影響を確認します。
  7. 有限シナリオでは全レッグをフル・リプライシングし、残差を照合します。取引分析ではモデル価格を約定可能なビッド・アスクに置き換え、約定、手数料、ヘッジのスリッページ、借株、配当、アサインメント、行使、決済キャッシュフロー、税金、ショック後のグリークスを反映します。

Vega × ΔIV または Theta × Δt を加えられるのは、ボラティリティと時間の単位、および時間微分の向きを定義した場合だけです。それでもVanna、Vomma、Charm、スキューの変形、交差項、高次項を取りこぼす可能性があります。大きなショックを分割する方法は、各ステップで状態全体とグリークスを更新する場合に限り有効です。それでも近似であり、経路依存となることがあります。

計算例

  • 1枚のコールとフル・リプライシング。 欧州型コールの条件を S = 100、K = 100、r = 4%、連続利回り y = 1%、σ = 25%、τ = 0.5 とします。Black-Scholes基準値は V_0 = 7.7215522303、Delta_i = 0.5659323171、Gamma_i = 0.0221205770 です。ΔS = +5 に対し、Delta項は 2.8296615855、Gamma項は 0.2765072125、推定変化は ΔV_DG = 3.1061687980、したがって推定価値は 10.8277210283 です。同じIVでのフル・リプライシングでは V_1 = 10.8172471731、変化は 3.0956949428、残差は1株当たり full − DG = −0.0104738552、1契約当たり −$1.047386（M = 100）です。終点IVが 30% なら、フル価値は 12.1628459929、総変化は 4.4412937626 です。当初の現物のみの推定は、状態変化と相互作用の 1.3351249646 を含みません。
  • 符号付きショート・ポジション。 6枚のコールをショートし、q = −6、M = 100、Delta_i = 0.55、Gamma_i = 0.04 とすると、D_pos = −330 shares、G_pos = −24 shares per $1 です。ΔS = +2 ではDelta項とGamma項が −$660 と −$48、合計 −$708、更新後Deltaは約 −378 shares です。ΔS = −2 では +$660 と −$48、合計 +$612、更新後Deltaは約 −282 shares です。負のGammaは両方向で曲率寄与を負にしますが、総損益を対称にはしません。
  • オプションと株式ヘッジ。 Delta_i = 0.35、Gamma_i = 0.025 のコールを4枚ロングし、Delta_i = −0.40、Gamma_i = 0.030 のプットを3枚ショートします。M = 100 とし、さらに 200 shares を空売りします。オプションDeltaは +140 + 120 = +260 shares、純 D_pos = +60 shares です。Gammaは +10 − 9 = +1 share per $1 です。ΔS = +5 に対するポジション推定は 60 × 5 + ½ × 1 × 5² = +$312.50、更新後Deltaは約 +65 shares です。レッグ別寄与はコールが +$825.00、プットが +$487.50、株式が −$1,000 で、合計は +$312.50 と一致します。
  • 2因子のクロスGamma。 ΔA = +2、ΔB = −3、Delta_A = 120、Delta_B = −80、Gamma_AA = 4、Gamma_BB = 2、対称な Gamma_AB = Gamma_BA = 1.5 とし、すべて整合するポジション単位と通貨単位に換算済みとします。線形項は 120 × 2 + (−80) × (−3) = 480、対角曲率は ½ × 4 × 2² + ½ × 2 × (−3)² = 17、簡約した交差項は 1.5 × 2 × (−3) = −9 です。合計は 488 です。クロスGammaを省略すると 497、簡約した交差項を再び2倍すると 479 になります。

リスクと管理策

  • シリーズ、ルート、満期、権利行使価格、オプション種類、受渡対象の誤りは近似を無効にします。
  • ポジションの符号を落とすと、Delta、Gamma、ヘッジ方向、要因分解が反転します。
  • 契約数とプレミアム乗数は、二重計上または計上漏れの可能性があります。
  • 調整済み契約、先物オプション、ベンダー集計済みグリークスは非標準単位の場合があります。
  • 現物、フォワード、先物、対数価格、プレミアム調整済み、キャッシュ座標は交換できません。
  • 絶対価格ショックは、百分率または標準偏差ショックとは異なります。
  • 通貨と為替換算により、見かけ上比較可能なグリークスが整合しないことがあります。
  • 異なる時点や古い原資産、サーフェス、オプション価格を混ぜると、見せかけの相殺が生じます。
  • スティッキー・ストライク、スティッキー・デルタ、スキュー、期間構造の規則は感応度を変えます。
  • 金利、配当、借株、資金調達、正確な満期時刻は価値とグリークスに影響します。
  • ベンダーの単位によって、時間項とボラティリティ項は符号が反対、または100倍違うことがあります。
  • 米国型行使と離散配当には、滑らかな欧州型公式にはない境界があります。
  • デジタル、バリアなど不連続な請求権のGammaは、不安定または分布的になることがあります。
  • 満期直前のGammaと有限差分は、権利行使価格とグリッドに強く依存します。
  • 大きなショックでは、固定した初期グリークスが省略する3次以上の項が表面化します。
  • ジャンプ、ギャップ、取引停止は連続的な局所リバランスの仮定を崩します。
  • 複数資産のブックでは、クロスGamma、相関、因子対応を省略または二重計上するおそれがあります。
  • 有限差分のバンプが大きすぎると打切り誤差、小さすぎると桁落ちノイズが増えます。
  • モデル価格とグリークスは、約定可能価格、数量、ヘッジ流動性を保証しません。
  • 動的ヘッジ、手数料、価格インパクト、借株、アサインメント、決済、モデル版、証券会社記録は最終照合が必要です。

よくある誤解

  • 「Gamma項は Gamma_i × (ΔS)² である。」テイラー係数は ½ です。
  • 「正のGammaならどちらに動いても利益になる。」局所的に接線対比の価値を改善するだけで、Delta、プレミアム、時間、ボラティリティ、費用、経路はなお重要です。
  • 「Delta中立なら無リスクである。」現在の一次項を一つ除くだけで、Gamma、Vega、Theta、ジャンプ、ベーシス、流動性、モデルのリスクは残ります。
  • 「表示されたVegaとThetaを加えれば損益推定は完成する。」単位、微分の向き、交差感応度、サーフェス変化、高次項も揃える必要があります。
  • 「精密なグリークスや小刻みな反復はフル・リプライシングの代わりになる。」要因分解は改善しますが、有限シナリオ、約定、ライフサイクル事象には完全な評価と照合が必要です。

関連トピック

参考資料

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