Delta-Gamma 近似：オプションの非線形損益を推定する

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接の答え

Delta-Gamma 近似は、時間、インプライド・ボラティリティ、金利、配当を一時的に一定として、原資産変動によるオプションまたはポートフォリオ価値の変化を推定します。

ΔV ≈ Delta × ΔS + 0.5 × Gamma × (ΔS)²

Delta は線形の方向項、Gamma は現値変動で Delta 自体が変わることによる曲率修正です。局所的な二次 Taylor 近似で、小さな変動のシナリオとリスク確認には有用ですが、完全な再評価の代わりではありません。

Delta は価値の現値に対する一次微分、Gamma は二次微分、つまり Delta の変化率です。係数 0.5 は Taylor 展開の二次項から生じ、省略できません。

上昇・下落のどちらでも (ΔS)² は正なので、正 Gamma は両方向で正の曲率項を加え、負 Gamma は差し引きます。これはロング・オプションが常に利益になる意味ではありません。Delta、支払プレミアム、Theta、Vega、取引費用も総損益に影響します。

ポートフォリオでは各オプションの 1 株当たり Greeks をポジション符号、契約数、乗数で換算して合計します。

ポートフォリオ Delta = Σ(符号 × 契約数 × 乗数 × Delta_i)

ポートフォリオ Gamma = Σ(符号 × 契約数 × 乗数 × Gamma_i)

標準的な米国株式オプションは通常 100 倍です。株式は 1 株当たり Delta 1、Gamma 0 です。複数資産では各リスク因子を別々に変化させ、必要なら交差 Gamma を加えます。無関係な原資産に一つの ΔS は使えません。

Call 価値が 5.00、Delta が 0.45、Gamma が 0.08、原資産が 100 から 103 に上昇し ΔS=3 とします。

Delta だけなら 6.35 で、正の曲率を 0.36 過小評価します。100 から 97 へ下落すると ΔS=−3、Delta 項は −1.35、Gamma 項は +0.36 のままです。推定変化は −0.99、推定価値は 4.01 です。

乗数 100 のロング 10 枚なら、1 株当たり変化を 1,000 倍し、上昇時の推定利益は $1,710 です。ショート 10 枚では Delta と Gamma の符号が逆になり、同じ上昇で他要因前の推定損失は $1,710 です。

乗数を掛ける前に Greeks が 1 株、1 契約、または既にポートフォリオ換算か確認します。
ポジション符号付き Greeks を使います。通常の Call と Put はロングで正 Gamma、ショートで負 Gamma です。
上昇・下落の両方を試します。片方向だけでは曲率と非対称性を隠します。
変化を局所的に保ちます。Gamma は現値、時間、変動性で変わり、特に満期直前の ATM で急変します。
大きな変動は小さな段階に分けて Greeks を更新するか、新シナリオで全契約を再評価します。
Vega×ΔIV と Theta×Δt を加える前に単位を確認します。Vega は 1 ポイントまたは 100%、Theta は日次または年次の場合があります。
曲面変化、配当、金利、ギャップ、流動性、費用を広いストレステストに加えます。
独立した完全再評価と比較して残差を記録します。残差拡大はモデル、単位、欠落因子のリスクです。