Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.
Direkte Antwort
Ultima misst, wie sich das Vomma einer Option, auch Volga genannt, bei einer Änderung der gewählten Volatilitätseingabe verändert, während Spot, Zeit, Zinsen, Dividenden und alle übrigen Modelleingaben konstant bleiben. Nach der hier verwendeten Konvention gilt für den Modellwert V und die dezimale Volatilität σ:
Vega = ∂V/∂σ, Vomma = ∂²V/∂σ² und Ultima = ∂³V/∂σ³ = ∂Vomma/∂σ.
Ultima ist eine lokale Modellempfindlichkeit dritter Ordnung. Sie zeigt, wie sich eine Volatilitätsnäherung zweiter Ordnung bei einer Änderung der gewählten Eingabe weiter krümmt. Sie prognostiziert jedoch keine IV, garantiert keinen Gewinn und erfasst nicht jede Änderung einer realen Volatilitätsoberfläche. Bei einer oberflächenbasierten Berechnung hängt das Ergebnis zudem davon ab, welche Knoten verschoben und welche Eingaben konstant gehalten werden.
Geltungsbereich: Diese Seite erläutert eine theoretische Sensitivität, nicht die Bedingungen oder den Preis eines börsengehandelten oder außerbörslichen Produkts und auch keine Risikoberechnung auf Kontoebene. Das Beispiel ist eine Modellausgabe für eine europäische Option nach Black-Scholes, kein ausführbarer Kurs. Die Unterlagen von OIC und OCC betreffen börsengehandelte Optionen in den USA; Produktbedingungen, Brokerregeln, Steuern und Recht unterscheiden sich nach Markt, Konto, Rechtsordnung und Zeitpunkt. Maßgeblich sind aktuelle amtliche Unterlagen und qualifizierte Berater. Diese Seite bietet keine individuelle Anlage-, Rechts- oder Steuerberatung.
Mechanismus und Einheiten
Eine Taylor-Näherung für die aktuelle Volatilität ist:
ΔV ≈ Vega×Δσ + ½×Vomma×(Δσ)² + ⅙×Ultima×(Δσ)³
Die Entwicklung isoliert nur den Volatilitätseffekt. Delta, Gamma, Theta, Zinsen, Dividenden, Skew und Ausführung bleiben relevant. Da sich Vega und Vomma nach jedem Schock ändern, ist bei großem Δσ eine vollständige Neubewertung vorzuziehen.
Einheiten sind eine häufige Fehlerquelle. Ein Modell mit dezimaler Volatilität behandelt 30% als 0.30; eine Anzeige kann die Sensitivität je Volatilitätspunkt ausweisen, wobei 30%→31% einem Punkt entspricht. Zur Umrechnung von Ultima je Kubikeinheit dezimaler Volatilität in einen Wert je Volatilitätspunkt hoch drei wird durch 100³ = 1,000,000 geteilt. Manche Anbieter zeigen stattdessen die Änderung ihres ausgewiesenen Vomma bei einer IV-Bewegung um einen Punkt. Vor einem Vergleich muss die Konvention feststehen.
Ultima kann positiv oder negativ sein und sein Vorzeichen je nach Moneyness, Laufzeit, Zinsen, Dividenden und Modellwahl wechseln. Das Vorzeichen beschreibt nur, wie sich das lokale Vomma bei steigender gewählter IV-Eingabe verändert; es ist kein bullisches oder bärisches Signal.
Finite-Differenzen-Beispiel
Betrachtet wird eine europäische Call-Option mit einem Aktienkurs von $110, einem Ausübungspreis von $100, sechs Monaten Restlaufzeit, einem stetig verzinsten risikofreien Satz von 4%, ohne Dividende und unter Black-Scholes-Annahmen. Sie wird bei IV von 29%, 30% und 31% neu bewertet.
Nach der Black-Scholes-Formel für Vomma beträgt der Wert ungefähr 26.2235 bei 29% IV und ungefähr 21.6499 bei 31% IV, jeweils je quadrierter Einheit dezimaler Volatilität. Die zentrierte finite Differenz bei 30% lautet:
Ultima ≈ (21.6499 − 26.2235) ÷ (0.31 − 0.29) = −228.7
Nach dieser Konvention sind das etwa −228.7 Dollar je Aktie und je Kubikeinheit dezimaler Volatilität beziehungsweise nach Division durch eine Million ungefähr −0.0002287 Dollar je Aktie und je Volatilitätspunkt hoch drei. Das negative Ergebnis bedeutet, dass das lokale Vomma in der Umgebung dieser Eingaben bei steigender IV sinkt.
Bei der Berechnung handelt es sich um eine Modelleinheitenprüfung, nicht um eine Handelsprognose. Unterschiedliche Bump-Größen, amerikanische Ausübung (englisch: exercise), Dividenden, eine IV-Oberfläche, Rundung oder ein anderes Modell können einen anderen Wert ergeben. Bei einem Standardkontrakt über 100 Aktien wenden Sie den Multiplikator erst an, nachdem Sie bestätigt haben, dass der angegebene griechische Betrag pro Aktie gilt.
Risiken und praktische Kontrollen
- Zeichnen Sie bei jeder Beobachtung Spot, Strike, Ablaufzeitstempel, Ausübungsart, IV-Oberfläche, Zinssätze, Dividenden, Kredit, Modell, Bump-Größe und Einheiten auf.
- Überprüfen Sie ein angezeigtes Ultima, indem Sie IV nach oben und unten bewegen, Vomma neu berechnen und durch das gesamte Dezimalvolatilitätsintervall dividieren.
- Testen Sie mehrere Bump-Größen. Ein Ergebnis, das sich dramatisch ändert, kann numerisches Rauschen oder ein Hinweis darauf sein, dass die lokale Näherung instabil ist.
- Aggregieren Sie die vorzeichenbehaftete Position als
per-share Greek × signed contracts × multiplier, erst nachdem alle Legs auf dieselbe Konvention normiert wurden. - Schocken Sie einzelne Strikes und Verfallszeiten, anstatt davon auszugehen, dass sich die gesamte Volatilitätsoberfläche parallel bewegt.
- Neubewertung der gesamten Position bei großen Bewegungen, Ereignisrisiken, kurzen Verfallszeiten, hohem Geldwert oder Positionen mit Frühausübungsfunktionen.
- Berücksichtigen Sie Geld-/Briefspannen, Liquidität, Zuordnung, Marge und diskrete Absicherungsgrößen; Ein mathematisch präziser Grieche macht eine Absicherung nicht ausführbar.
- Behandeln Sie Modellunstimmigkeiten als Unsicherheit. Derivate höherer Ordnung verstärken kleine Fehler bei Preisen, Kurven, Dividenden und Oberflächeninterpolation.
Häufige Irrtümer
- „Ultima ist die Geschwindigkeit, mit der sich die IV ändert.“ Es handelt sich um die Empfindlichkeit von Vomma gegenüber einer angenommenen IV-Änderung, nicht um eine IV-Prognose.
- „Ein negativer Ultima bedeutet, dass die Option verkauft werden sollte.“ Das Vorzeichen beschreibt die lokale Krümmung unter einem Modell, nicht die erwartete Rendite.
- „Ultima ersetzt Vega und Vomma.“ Es ist ein zusätzlicher Begriff; Expositionen erster und zweiter Ordnung dominieren normalerweise kleine Bewegungen.
- „Werte von zwei Plattformen sind direkt vergleichbar.“ Dezimal- oder Punktskalierung, Einheiten pro Aktie oder pro Vertrag, Modelle und Bump-Methoden können unterschiedlich sein.
- „Ein Ultima fasst ein Portfolio zusammen.“ Jeder Ausübungspreis (englisch: strike) und jedes Verfallsdatum kann einem anderen Oberflächenschock ausgesetzt sein; Das Brutto-Leg-Risiko kann groß bleiben, wenn das Netto-Exposure gering ist.
- „Das Hinzufügen weiterer Griechen beseitigt das Modellrisiko.“ Eine höhere Ableitung kann weniger stabil und empfindlicher gegenüber Eingaben und numerischen Fehlern sein.
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Maßgebliche Quellen
- The Pricing of Options and Corporate Liabilities – Fischer Black und Myron Scholes
- Theory of Rational Option Pricing – Robert C. Merton
- Vega – Options Industry Council
- Characteristics and Risks of Standardized Options – The Options Clearing Corporation