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Charm, Vanna und Vomma: Vorzeichen, Einheiten und vollständige Neubewertung

Misst die zeitbedingte Veränderung von Delta, die Wechselwirkung zwischen Delta und Volatilität sowie die Krümmung von Vega mit eindeutigen Zeitkonventionen, Volatilitätseinheiten, Finite-Differenzen-Kontrollen, Positionsskalierung und Modellgrenzen.

Aktualisiert

Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

Kurzantwort

Charm, Vanna und Vomma sind lokale Ableitungen einer festgelegten Optionspreisfunktion, keine Prognosen oder vertraglichen Auszahlungen. Charm misst die Reaktion von Delta auf den Zeitablauf, Vanna die Wechselwirkung zwischen Spotpreis und Volatilität und Vomma, häufig auch Volga genannt, die Reaktion von Vega auf die Volatilität. Eine Kennzahl ist erst aussagekräftig, wenn Zeitrichtung, Volatilitätsskala, Modellkoordinaten, Positionsvorzeichen, Stückzahl und Multiplikator bekannt sind.

Für den Wert V(S,σ,τ,...) gelten Delta=∂V/∂S und das unskalierte Vega Vega_raw=∂V/∂σ, wobei die Volatilität σ als Dezimalzahl angegeben wird und τ die Restlaufzeit bezeichnet. Bei hinreichender Glattheit und einheitlichen Koordinaten gilt Vanna_raw=∂²V/(∂S∂σ)=∂Delta/∂σ=∂Vega_raw/∂S, während Vomma_raw=∂²V/∂σ²=∂Vega_raw/∂σ gilt. Die Gleichheit gemischter partieller Ableitungen bedeutet nicht, dass ein tatsächlicher Schock der Marktoberfläche mit einem Modell-Bump identisch ist.

Zeit- und Anzeigeeinheiten sind die größten Fehlerquellen. Mit τ=T−t ist Charm_τ=∂Delta/∂τ; bezogen auf die Kalenderzeit lautet Charm dagegen Charm_t=∂Delta/∂t=−Charm_τ. Der lokale Effekt eines ACT/365-Tages bei ansonsten unveränderten Eingaben beträgt −Charm_τ/365. Eine Veränderung der Volatilität um einen Prozentpunkt entspricht 0.01 in Dezimalschreibweise, daher gelten Vanna_1pt=0.01×Vanna_raw und Vomma_1pt²=0.0001×Vomma_raw. Wer unskalierte und angezeigte Werte vermischt, erzeugt Faktoren von 100 oder 10,000.

Siebenstufiger Kontrollprozess für Greeks

  1. Anspruch und Modellzustand festschreiben. Erfassen Sie Bewertungszeitpunkt, genaue Optionsserie, Long- oder Short-Vorzeichen, Anzahl, Multiplikator, Spot- oder Terminpreis, Zinssätze, Dividenden, Leihkosten, Volatilitätsoberfläche, Restlaufzeit, Ausübungsart, Erfüllung und Modellversion.
  2. Elementare Ableitungen und Koordinaten angeben. Nennen Sie Delta, Vega_raw, Vanna_raw und Vomma_raw; unterscheiden Sie Spot- von Forward-Delta, prämienbereinigte von unbereinigten Größen und geben Sie an, ob die Oberfläche nach Ausübungspreis, Delta oder einer anderen Koordinate konstant gehalten wird.
  3. Zeitkonvention und Vorzeichen von Charm festlegen. Unterscheiden Sie Kalenderzeit t und Restlaufzeit τ, nennen Sie Charm_t oder Charm_τ und geben Sie an, ob der Wert pro Jahr, nach ACT/365, ACT/252 oder bereits täglich ausgewiesen wird. Ein bereits täglicher Anbieterwert darf nicht nochmals durch die Tageszahl geteilt werden.
  4. Volatilitäts- und Krümmungseinheiten festlegen. Unterscheiden Sie Dezimalvolatilität und Volatilitätspunkte, unskaliertes und angezeigtes Vega, einen parallelen skalaren Bump und einen Bump nach Strike-Skew oder Delta-Oberfläche; dokumentieren Sie die Umrechnung für Vanna und Vomma.
  5. Mit finiten Differenzen validieren. Verwenden Sie soweit möglich zentrale Differenzen, vergleichen Sie Vanna über Delta-gegen-Volatilität und Vega-gegen-Spotpreis, vergleichen Sie Vomma anhand der Vega-Steigung und Preiskrümmung und wiederholen Sie die Rechnung mit kleineren Bumps, um Trunkations- oder Auslöschungsfehler sichtbar zu machen.
  6. Aggregieren und vollständig neu bewerten. Normalisieren Sie zunächst jede Serie und multiplizieren Sie anschließend mit vorzeichenbehafteter Stückzahl und Multiplikator. Lokale Werte für Delta, Gamma, Charm, Vanna und Vomma dienen nur der Attribution; als Kontrolle sind vollständige Szenarien für Spotpreis, Zeit, Volatilität, Skew, Laufzeitstruktur, Zinsen, Dividenden, Leihkosten und kombinierte Schocks zu rechnen.
  7. Modell und Ausführung abstimmen. Vergleichen Sie Anbieterversionen und Bump-Konventionen, ausführbare Geld- und Briefkurse, diskrete Absicherungsmengen, Liquidität, Gebühren und tatsächliche Ausführungen. Speichern Sie Greeks vor und nach dem Schock, statt eine Midpoint-Sensitivität als garantierte Absicherung zu behandeln.

Durchgerechnete Beispiele

  • Zeitkonvention und Vorzeichen von Charm. In einem Black-Scholes-Beispiel mit stetiger Dividendenrendite seien S=100, K=100, r=5%, q=2%, σ=20% und τ=0.5. Dann sind d1=0.1767766953, d2=0.0353553391 und das Call-Delta 0.5644849345. Hier gilt Charm_τ=+0.0574497873 per year; die lokale kalenderzeitliche Veränderung für einen ACT/365-Tag beträgt somit −0.0574497873/365=−0.0001573967. Die vollständige Neubewertung bei τ=0.5−1/365=0.4972602740 ergibt ein Delta von 0.5643272616 und eine exakte Eintagesänderung von −0.0001576729. Bei einem Multiplikator von 100 sinkt das richtungsbezogene Äquivalent von 56.4485 auf 56.4327 shares, also um −0.0158 share; das endliche Ergebnis entspricht nicht exakt der Ableitungsschätzung.
  • Zentrale Differenz und Skalierung von Vanna. Bei denselben Eingaben beträgt das Call-Delta 0.5652807208 für σ=19% und 0.5638956602 für σ=21%. Die zentrale Schätzung lautet (0.5638956602−0.5652807208)/(0.21−0.19)=−0.0692530319 per absolute volatility beziehungsweise −0.0006925303 Delta per vol point. Der analytische lokale Wert bei 20% ist Vanna_raw=−0.0687394860, entsprechend −0.0006873949 per vol point. Ein Long-Kontrakt mit Multiplikator 100 verändert sich bei einem Anstieg der impliziten Volatilität um einen Punkt daher um etwa −0.0687395 delta-equivalent share, noch vor Oberflächenrekalibrierung und höheren Ordnungen.
  • Vomma aus der Vega-Steigung. Für einen Black-Scholes-Call mit S=100, K=120, r=4%, q=1%, σ=25% und τ=1 beträgt das unskalierte Vega 35.1268247986, das angezeigte Vega also 0.3512682480 price per vol point. Das analytische Vomma_raw=49.9650569089 entspricht 0.0049965057 price per vol-point². Das angezeigte Vega beträgt 0.3459770760 bei 24% und 0.3559948122 bei 26%; die zentrale Schätzung lautet somit (0.3559948122−0.3459770760)/2=0.0050088681 price per vol-point². Die Abweichung vom analytischen Wert ist ein Fehler des endlichen Bumps und kein neues Greek.
  • Lokale Krümmung gegenüber vollständiger Neubewertung. Im vorstehenden Beispiel mit K=120 steigt der Modellpreis von 4.4188911173 bei 25% impliziter Volatilität auf 6.2276105891 bei 30%. Das entspricht exakt +1.8087194718 per share oder +$180.8719472 bei einem Multiplikator von 100. Vega allein schätzt 0.3512682480×5=1.7563412399. Unter Einbeziehung von Vomma ergibt sich 1.7563412399+0.5×0.0049965057×5²=1.8187975611 beziehungsweise +$181.8797561 je Kontrakt, noch immer +$1.0078089 mehr als die vollständige Neubewertung. Die Attribution zweiter Ordnung verbessert eine lokale Näherung, ersetzt aber keinen erneuten Modelllauf.

Risiken und Validierungskontrollen

  • Prüfen Sie die genaue Optionsserie, den Anspruch und den Bewertungszeitpunkt.
  • Dokumentieren Sie Modellfamilie, Kalibrierung und Implementierungsversion.
  • Unterscheiden Sie Spot-, Forward- und prämienbereinigte Delta-Koordinaten.
  • Speichern Sie die vollständige Volatilitätsoberfläche samt Interpolation.
  • Geben Sie Sticky-Strike, Sticky-Delta oder eine andere Bump-Konvention an.
  • Bewahren Sie Annahmen zu Zinsen, Dividenden, Ausschüttungen und Leihkosten.
  • Modellieren Sie gegebenenfalls amerikanische Ausübung und vorzeitige Ausübungsgrenzen.
  • Behandeln Sie diskrete Dividenden getrennt von Formeln mit stetiger Rendite.
  • Unterscheiden Sie Barausgleich, physische Erfüllung und Folgeexposition nach Ausübung.
  • Legen Sie t gegenüber τ sowie die Vorzeichenkonvention von Charm fest.
  • Legen Sie ACT/365, ACT/252, Handelstage oder eine bereits tägliche Skala fest.
  • Rechnen Sie zwischen Dezimalvolatilität und Volatilitätspunkten ohne Faktor-100-Fehler um.
  • Rechnen Sie unskaliertes Vega und Vomma ohne Faktor-10.000-Fehler um.
  • Wenden Sie Long- oder Short-Vorzeichen, Anzahl, Multiplikator und Währung konsistent an.
  • Halten Sie Einheiten je Aktie, Punkt, Kontrakt und Portfolio getrennt.
  • Prüfen Sie Finite-Differenzen-Bumps auf Trunkation und Konvergenz.
  • Vermeiden Sie Bumps, bei denen Kurs- oder numerisches Rauschen dominiert.
  • Testen Sie Verfall, Sprünge, Ereignisse, Handelsunterbrechungen und nicht glatte Auszahlungen.
  • Saldieren Sie unterschiedliche Laufzeiten, Oberflächen, Modelle oder Erfüllungsansprüche nicht unbesehen.
  • Stimmen Sie Midpoint-Greeks mit ausführbaren Absicherungen, Gebühren und vollständiger Neubewertung ab.

Häufige Irrtümer

  • „Charm prognostiziert das Delta von morgen.“ Charm ist eine lokale Ableitung unter einer festgelegten Zeit- und Konstanthaltungsannahme.
  • „Vanna ist immer positiv.“ Das Vorzeichen hängt von Anspruch, Moneyness, Zeit, Modell und Koordinatenkonvention ab.
  • „Vomma ist Vega und immer positiv.“ Vomma ist die Krümmung von Vega; Vorzeichen und Höhe hängen von Modell und Zustand ab.
  • „Anbieterwerte sind unmittelbar vergleichbar.“ Zeitkonventionen, Vorzeichen, Volatilitätseinheiten, Oberflächen, Modelle und Kontraktskalierungen können abweichen.
  • „Greeks zweiter Ordnung machen eine vollständige Neubewertung überflüssig oder garantieren eine Absicherung.“ Endliche Schocks, Kreuzwirkungen, Sprünge, Liquidität und diskrete Kontrakte bleiben bestehen.

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Maßgebliche Quellen

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