Gamma-Theta-Beziehung: Einheiten, Carry, Pfade und vollständige Neubewertung

Gamma und Theta anhand vorzeichenbehafteter Positionseinheiten, eindeutiger Zeitkonventionen, PDE-Carry, ausführbarer Hedge-Bücher, vollständiger Neubewertung und Lebenszykluskontrollen prüfen.

Nur zu Bildungszwecken; keine Anlageberatung. Investitionen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Die Gamma-Theta-Beziehung ist eine lokale Modellbeziehung, kein fester Preis für Konvexität. Für die vorzeichenbehaftete Stückzahl q und den Multiplikator M gelten Delta_pos = q x M x Delta, Gamma_pos = q x M x Gamma und Theta_pos = q x M x Theta. Beim Einheits-Gamma muss die Preiseinheit des Basiswerts angegeben werden; bei Theta ist anzugeben, ob es pro Jahr, Kalendertag oder Handelstag gilt.

Bei gewöhnlichen gekauften Vanilla-Calls und -Puts ist Gamma im angegebenen Modell meist positiv und Theta meist negativ. Diese Vorzeichenintuition kann bei Portfolios, exotischen Auszahlungen, Ausübungsgrenzen oder in anderen Marktbereichen versagen. Die tatsächliche Wertentwicklung ergibt sich aus vollständigen Optionsbewertungen, Hedge-Bestand, Cash, Carry und Kosten; eine Zuordnung mittels Griechen erklärt sie, darf aber nicht nochmals addiert werden.

Ein konsistentes Gamma-Theta-Buch erstellen

Erfassen Sie jede Optionsserie, vorzeichenbehaftete Stückzahl, Multiplikator, Liefergegenstand, Währung, Ausübungsart, Abwicklungsmethode, vorhandenen Basiswertbestand und Delta-Ziel verbindlich.
Deklarieren Sie Quelle und Koordinate der Griechen: je Aktie oder Kontrakt, bereits positionsskaliert oder nicht, Spotpreiseinheit für Gamma, Zeitkonvention für Theta und ob Vega je 1 vol point oder je 1.00 Volatilität angegeben ist.
Erfassen Sie synchron ausführbare Bid-, Ask- und Größendaten für Option und Basiswert sowie Spot, Forward, Volatilitätsfläche, Zinsen, Dividenden, Leihe, FX, Restlaufzeit und genaue Zeitstempel.
Aggregieren Sie vorzeichenbehaftete Brutto- und Netto-Delta-, Gamma-, Theta- und Vega-Werte genau einmal. Verwenden Sie für einen eingefrorenen lokalen Zustand Delta V_pos ~= Delta_pos x Delta S + 0.5 x Gamma_pos x (Delta S)^2 + Theta_pos x Delta t + Vega_pos x Delta sigma mit kompatiblen Einheiten und Vorzeichen.
Nutzen Sie die lokale Schwelle nur als Diagnose. Unter Black-Scholes-Annahmen mit stetiger Dividendenrendite q_div lautet die Identität Theta + 0.5 x sigma^2 x S^2 x Gamma + (r - q_div) x S x Delta - r x V = 0; Finanzierung und Dividenden-Carry gehören somit zur Beziehung.
Bewerten Sie Spot, Zeit, Volatilitätsniveau, Skew, Laufzeitstruktur, Zinsen, Dividenden, Sprünge, Trends, Schwankungen, Kurslücken und alternative Hedge-Zeitpläne vollständig neu. Aktualisieren Sie beim dynamischen Hedging Aktie und Cash nur anhand tatsächlicher Fills und trennen Sie das selbstfinanzierende Buch von der Griechen-Zuordnung.
Stimmen Sie vor und nach dem Verfall Schließungsgeschäfte, Ausübung, Zuteilung, physische oder Barauszahlung, angepasste Liefergegenstände, Restaktien, Hedge-Auflösung, Finanzierung, Leihe, Dividenden, Gebühren, Steuern und sämtliche Modell-Ist-Reste ab.

Vier durchgerechnete Beispiele

Eingefrorene Tagesschwelle mit Kosten. Ein gekaufter Kontrakt hat Einheits-Gamma 0.08 Delta/$/share, angezeigtes Theta -$0.18/share/calendar day, Multiplikator M = 100 und Hin-und-zurück-Kosten von $4/contract. Die kostenfreie lokale Schwelle ist sqrt(2 x 0.18 / 0.08) = $2.1213203436; die Zuweisung der Kosten von $0.04/share ergibt sqrt(2 x (0.18 + 0.04) / 0.08) = $2.3452078799. Eine Bewegung um $2 ergibt $16 - $18 - $4 = -$6; eine Bewegung um $2.50 ergibt $25 - $18 - $4 = +$3. Dies sind Einperioden-Diagnosen mit eingefrorenen Griechen, keine ausführbaren Schwellen oder Verfalls-Break-evens.
PDE-Carry ist nicht nur Gamma gegen Theta. Für einen europäischen Call mit S = K = $100, T = 0.5, r = 4%, q_div = 1% und sigma = 25% seien V = $7.721552230288, Delta = 0.565932317133, Gamma = 0.022120576997 und Theta = -$8.301615173889/share/year. Der Gamma-Term beträgt $6.912680311701/share/year; der kombinierte Finanzierungs- und Dividendenterm $1.388934862188/share/year; zusammen ergeben sie $8.301615173889 beziehungsweise -Theta. Division durch 365 ergibt etwa -$0.022744151161/share/calendar day, wobei die angezeigte Tageskonvention eines Anbieters abweichen kann.
Selbstfinanzierender Pfad mit tatsächlichen Fills. Eine Delta-abgesicherte Long-Gamma-Position beginnt und endet bei einem Spot von $100. Nach einem Anstieg verkauft sie 100 shares zu $101.95; nach der Umkehr kauft sie 100 shares zu $100.05. Der Hedge-Cashflow beträgt +$190; zwei Fills kosten $10; die vollständige Optionsbewertung ändert sich um -$150. Die kombinierte GuV ist $190 - $10 - $150 = +$30. Ein idealisierter Hedge-Gewinn von $200 oder ein lokaler Gamma-Term darf nicht nochmals addiert werden.
Lokale Griechen gegen vollständige Neubewertung. Bei denselben Modelldaten betragen nach einem Kalendertag und einer Bewegung auf S_1 = $105 die lokalen Terme je Aktie: Delta $2.829661585667, Gamma $0.276507212468 und Theta -$0.022744151161; zusammen $3.083424646974. Der vollständige Wert bei unveränderter Volatilität beträgt $10.794375525849, die tatsächliche Änderung $3.072823295561 und der Taylor-Fehler $0.010601351413. Nach dem anfänglichen Delta-Hedge verbleiben $0.243161709894/share. Steigt die Volatilität auf 30%, beträgt der vollständige Wert $12.136197003065, die Optionsänderung $4.414644772777 und das abgesicherte Ergebnis $1.584983187110/share; die Differenz ist weder reines Gamma noch Theta oder realisierte Varianz.

Mess-, Ausführungs- und Lebenszyklusrisiken

Falsches Vorzeichen, Stückzahl, Multiplikator, Liefergegenstand, Punktwert oder FX-Umrechnung anwenden.
Einen bereits kontrakt- oder positionsskalierten Feed nochmals multiplizieren.
Die Spotpreiseinheit von Gamma offenlassen oder Dollar- und Prozentschocks vermischen.
Jahres-, Kalender-, Handels-, Wochenend- und Restlaufzeit-Konventionen für Theta vermischen.
Ein je Volatilitätspunkt angegebenes Vega ohne Umrechnung mit einer Dezimaländerung multiplizieren.
Einen anfänglichen Delta-Hedge bei Spot- und Zeitänderungen weiterhin als neutral behandeln.
Ein lokales Gamma über eine große Bewegung extrapolieren, obwohl sich Speed und höhere Ordnungen ändern.
Gamma und Theta trotz Änderungen von Spot, Zeit und Volatilität konstant halten.
Zinsen, Dividenden, Leihe, Convenience Yield und Optionsfinanzierung in der PDE auslassen.
Die Taylor-Näherung außerhalb ihres lokalen Modell- und Koordinatenbereichs verwenden.
Griechen-Zuordnung zu einer vollständigen Optionsbewertung addieren und dieselbe Änderung doppelt zählen.
Einen Endpunktschock als dynamisch abgesicherten Pfad oder Gamma-Scalping-Cashflow behandeln.
Stichproben der realisierten Varianz, Tageszählungen, Overnight-Renditen und Sprünge vermischen.
Eine Einstiegs-IV als bezahlte Varianz oder hinreichende Gewinnbedingung behandeln.
Volatilitätsniveau, Skew, Laufzeitstruktur, Vanna, Volga, Charm und Kreuzterme ignorieren.
Mittelkurse oder Modellwerte anstelle ausführbarer Kurse, Größen und tatsächlicher Fills verwenden.
Teilfüllungen, Ablehnungen, Latenz, Spread, Markteinfluss, Gebühren und ausgefallene Hedge-Auslöser ignorieren.
Unterstellen, dass Kurslücke, Handelsunterbrechung, geschlossene Sitzung oder Stop die modellierte Hedge-Strecke erhalten.
Margin, Finanzierung, Dividenden, Verfügbarkeit oder Rückruf der Leihe und Zwangsliquidation auslassen.
Vorzeitige Ausübung, Zuteilung, angepasste Kontrakte, physische oder Barabwicklung, Restbestand, Steuern oder Schlussabstimmung übersehen.

Häufige Irrtümer

„Hohes Gamma allein macht eine Option attraktiv.“ Preis, Theta, Flächendynamik, Pfad und ausführbare Kosten bestimmen weiterhin das Ergebnis.
„Positives Theta ist Tageszins oder kostenloses Einkommen.“ Es ist eine bedingte Modellableitung, die mit anderen Risiken und Carry-Termen einhergeht.
„Gamma und Theta werden den ganzen Tag zu einem festen Verhältnis gehandelt.“ Beide ändern sich mit Modellzustand, Position und Zeitkonvention.
„Die lokale Schwelle ist der Handels- oder Verfalls-Break-even.“ Sie ist weder implizite Bewegung noch garantiert ausführbarer Auslöser.
„Delta-Hedge oder begrenzte Prämie beseitigen das Risiko.“ Kurslücken, Volatilitätsneubewertung, Liquidität, Margin, Zuteilung und wiederholte Verluste bleiben bestehen.