Lokale Dupire-Volatilität: Von einer Optionsoberfläche zur Diffusion

Prüfen Sie lokale Dupire-Volatilität in Preis-, Forward- und Gesamtvarianzkoordinaten einschließlich arbitragefreier Anpassung, Ableitungsstabilität, Neubewertung und dynamischer Modellkontrollen.

Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Die lokale Dupire-Volatilität ist ein deterministischer momentaner Diffusionskoeffizient σ_loc(S,t), der aus einer hinreichend glatten, arbitragefreien Oberfläche europäischer Optionspreise abgeleitet wird. Im gewählten risikoneutralen Carry-Modell bildet sie eine Diffusion, deren Randverteilungen zu jedem Zeitpunkt die heutigen Vanilla-Optionspreise über Ausübungspreise und Laufzeiten hinweg reproduzieren.

Sie ist ein Kalibrierungsergebnis, nicht die implizite Volatilität am selben Ausübungspreis, keine Prognose der realisierten Volatilität und kein Beweis dafür, dass der Markt genau einem lokalen Volatilitätsprozess folgt. Eine exakte Neubewertung der Vanilla-Optionen kann neben einer falschen künftigen Smile-Dynamik, falschen Barrierepreisen, Absicherungsergebnissen und Sprungverhalten bestehen.

Modell, Koordinaten und Kontrollprozess

Legen Sie die exakte europäische Auszahlung, den Basiswert, den Abrechnungswert, den Zeitstempel der Notierung, die Währung, die Einheiten von Ausübungspreis und Laufzeit sowie den Bewertungszeitpunkt fest. Der vorzeitige Ausübungswert amerikanischer Optionen und Sprünge aufgrund diskreter Dividenden erfordern eine ausdrückliche Europäisierung oder ein anderes Modell.
Erstellen Sie deterministische Diskontierungs- und Carry-Eingaben: D_d(T)=exp(−∫₀ᵀr(u)du), D_q(T)=exp(−∫₀ᵀq(u)du) und F(T)=S₀D_q(T)/D_d(T). Stimmen Sie die Forwards mit synchronisierter Put-Call-Parität ab, statt zeitlich versetzte Aktien-, Options-, Zins- oder Dividendenbeobachtungen zu vermischen.
Bereinigen Sie Geld- und Briefkurse, verwerfen Sie veraltete oder gekreuzte Märkte und konvertieren Sie Puts und Calls konsistent. Erzwingen Sie vertikale Preisgrenzen, mit dem Ausübungspreis fallende und konvexe Callpreise, eine nicht negative Dichte und Kalenderkonsistenz in einer einheitlichen Diskontierungs- und Forward-Koordinate, bevor Sie differenzieren.
Passen Sie eine glatte Preis- oder Gesamtvarianzoberfläche mit offengelegten Regeln für Interpolation sowie Flügel- und Zeitextrapolation an. Für auf den Zeitpunkt null abgezinste europäische Calls C(K,T) und deterministische momentane Zinssätze r(T) und q(T) lautet die Formel in Preiskoordinaten σ_loc²(K,T)=[C_T+(r(T)−q(T))K C_K+q(T)C]/[0.5K²C_KK], wobei C_T bei konstantem K gebildet wird und C_KK=D_d(T)f_Q(K)≥0 gilt.
Ordnen Sie jede Ableitung ihrer Koordinate zu. Mit k=K/F(T) und dem normierten Call c(k,T)=C(kF(T),T)/(D_d(T)F(T)) gilt σ_loc²(kF(T),T)=2c_T|k/(k²c_kk). Definieren Sie bei Log-Forward-Moneyness y=ln(K/F(T)) und impliziter Gesamtvarianz w(y,T)=σ_BS²(y,T)T den Ausdruck g=(1−y w_y/(2w))²−(w_y²/4)(1/w+1/4)+w_yy/2 und verwenden Sie σ_loc²=w_T|y/g. Fordern Sie w_T|y≥0 und g>0; Ableitungen bei konstantem K, k beziehungsweise y sind nicht austauschbar.
Verwerfen Sie negative oder instabile lokale Varianz, statt sie stillschweigend nach unten zu begrenzen. Variieren Sie Notierungen, Forwards, Dividenden, Knoten, Interpolation, Gitter und Randbedingungen; bewerten Sie anschließend Kalibrierungs- und Validierungsoptionen mit Forward-Dichte-, Rückwärts-PDE- und Monte-Carlo-Implementierungen neu.
Vergleichen Sie Barrieren, andere pfadabhängige Ansprüche und den Absicherungs-P/L unter lokaler Volatilität, stochastischer Volatilität und Sprungszenarien. Dokumentieren Sie Datenstand der Notierungen, Filter, Kurven, Oberflächenparameter, Ableitungsschema, fehlgeschlagene Knoten, Extrapolation, Solver-Toleranzen und Änderungen aus Rekalibrierungen.

Vier durchgerechnete Beispiele

Eine flache Black-Scholes-Oberfläche reproduziert ihre Eingabe. Es seien S₀=K=100, T=0.5, r=4%, q=1% und σ_BS=25%. Die exakte Oberfläche ergibt C=7.721552230288, C_K=−0.488716794830, C_KK=0.022120576997 und C_T=8.301615173889. Der Zähler beträgt 6.912680311701 und der Nenner 110.602884987209; somit sind σ_loc²=0.0625 und σ_loc=25%.
Zweite Ableitungen verstärken kleinste Preisfehler. Auf derselben flachen Oberfläche betragen die Callpreise an den Ausübungspreisen 99/100/101 genau 8.221364125112/7.721552230288/7.243855394654. Bei einem Abstand von h=$1 ergibt die zentrale Schätzung C_KK≈0.022115059190 und mit den übrigen exakten Ableitungen σ_loc≈25.0031186%. Wird nur der mittlere Call um $0.01 erhöht, ändert sich die Schätzung auf C_KK≈0.002115059190 und σ_loc≈80.8494317%; eine Erhöhung um $0.05 ergibt C_KK≈−0.077884940810 und σ_loc²≈−0.017751006138. Das Ergebnis ist ungültig und keine Volatilitätsprognose.
Die Forward-Normierung verlangt eine Zeitableitung bei konstantem k. Es seien D_d=0.98, F=102, k=1, c=0.08, c_T|k=0.032 und c_kk=3.20. Dann sind C=7.9968, C_KK=0.030745098039, der Zähler in Preiskoordinaten 3.19872 und der Nenner 159.936. Beide Formeln ergeben σ_loc²=0.020000000000 und σ_loc=14.1421356237%. Eine bei konstantem Ausübungspreis gebildete Zeitableitung darf ohne den Term zur Koordinatenumrechnung nicht als c_T|k eingesetzt werden.
Der Gesamtvarianznenner dient als Arbitragediagnose. Für y=−0.1 seien w=0.04, w_y=−0.10, w_yy=0.50 und w_T|y=0.02. Daraus folgen g=0.9525, σ_loc²=0.020997375328 und σ_loc=14.4904711200%. Ändert sich nur w_yy auf −1.50, folgen g=−0.0475 und σ_loc²=−0.421052631579; die angepasste Oberfläche beziehungsweise der Knoten muss verworfen oder repariert werden, nicht abgeschnitten und als kalibriert ausgewiesen werden.

Kalibrierungscheckliste

Der Ausübungswert amerikanischer Optionen kann eine als europäisch behandelte Oberfläche verfälschen.
Diskrete oder unsichere Dividenden verletzen an den Ereignisterminen die Annahme einer glatten Diffusion mit stetiger Dividendenrendite.
Zinskurven, Zinskonventionen, Zinstagezählung und genaue Verfallzeitpunkte können inkonsistent sein.
Spot-, Ausübungspreis-, Forward-, Log-Moneyness- und prämiennormierte Koordinaten können vermischt werden.
Notierungen können veraltet, asynchron, gekreuzt oder für unvereinbare Größen gestellt sein.
Mittelpunkte sind nicht ausführbar und können breite oder einseitige Märkte verdecken.
Put-Call-Parität und abgeleitete Forwards können durch Wertpapierleihe, Dividenden oder Zeitabweichungen verzerrt sein.
Vertikale Preisgrenzen und die Monotonie der Calls können bereits vor der Oberflächenanpassung verletzt sein.
Butterfly-Konvexität und positive Dichte können lokal oder in den Flügeln verletzt sein.
Kalenderbedingungen müssen in konsistenten Diskontierungs- und Forward-Koordinaten geprüft werden.
Kurze Laufzeiten und wenige Ausübungspreise machen Ableitungen instabil.
Flügel- und Langfrist-Extrapolation können die Bewertung exotischer Produkte bestimmen.
Finite Differenzen, Splines und automatische Differenzierung können Notierungsrauschen unterschiedlich verstärken.
Eine Dichte nahe null führt zu einem schlecht konditionierten Nenner der lokalen Varianz.
Ein negativer Zähler oder eine negative lokale Varianz weist auf inkonsistente Eingaben, Arbitrage oder Numerik hin.
Stilles Abschneiden oder Begrenzen kann eine fehlgeschlagene Kalibrierung verbergen und die Neubewertung verzerren.
PDE-, Dichte-, Monte-Carlo-, Gitter- und Randimplementierungen können voneinander abweichen.
Die Anpassung einzeitiger Randverteilungen bestimmt weder die künftige Smile- noch die Pfaddynamik.
Sprünge, stochastische Volatilität, Barrieren und diskrete Absicherung erzeugen verbleibendes Modellrisiko.
Datenstand, Filter, Parameterversionen, fehlgeschlagene Knoten und Rekalibrierungen erfordern Governance.

Häufige Irrtümer

„Die lokale Volatilität ist die implizite Volatilität am selben Ausübungspreis.“ Es sind unterschiedliche Größen, die über die gesamte Oberfläche zusammenhängen.
„Eine glatt aussehende Oberfläche muss eine stabile lokale Volatilität ergeben.“ Glätte allein garantiert weder Arbitragefreiheit noch gut konditionierte Ableitungen.
„Eine exakte Neubewertung der Vanilla-Optionen beweist, dass Preise und Absicherungen exotischer Optionen korrekt sind.“ Sie validiert statische Randverteilungen, nicht die wahre Dynamik.
„Negative lokale Varianz ist Marktinformation.“ Sie weist meist auf inkonsistente Notierungen, Arbitrage, Koordinaten, Interpolation oder numerische Verfahren hin.
„Die heutige Oberfläche prognostiziert eindeutig die realisierte Volatilität oder den wahren Prozess.“ Viele Dynamiken können dieselben einzeitigen Vanilla-Verteilungen besitzen.