Binomiale Optionsbewertung: Replikation, Carry, vorzeitige Ausübung und Konvergenz

Nur zu Bildungszwecken; stellt keine Anlageberatung oder Anlageempfehlung dar. Anlagen können zu Verlusten führen.

Direkte Antwort

Ein Binomialmodell bewertet eine Option auf einem Gitter diskreter Zustände; es prognostiziert nicht, dass der Basiswert tatsächlich nur zwei Kursbewegungen ausführt. An jedem Knoten wird ein Aufwärtsfaktor u oder Abwärtsfaktor d angewandt, der vertragliche Endzahlungsstrom bestimmt und bis heute zurückgerechnet. In einem vollständigen Markt mit einem einzigen Risikofaktor lässt sich derselbe Knotenwert durch ein lokales replizierendes Portfolio aus Basiswert und Cash prüfen.

Für einen Schritt der Länge Delta t ist der Finanzierungswachstumsfaktor B = exp(r Delta t) vom Carry-Wachstumsfaktor des Basiswerts G = exp((r - q) Delta t) zu trennen. Bei einer stetigen proportionalen Rendite q lautet das arbitragefreie Bewertungsgewicht

p = (G - d) / (u - d), unter der Bedingung d < G < u.

Der europäische Fortsetzungswert ist V = [p V_u + (1 - p) V_d] / B. An einem Knoten mit Ausübungsrecht gilt für eine amerikanische oder bermudische Option V = max(H,C), wobei H der sofortige Ausübungswert und C der Fortsetzungswert ist. Das Modell liefert einen Wert je Einheit des Basiswerts; Multiplikator, Stückzahl, offizieller Erfüllungswert, ausführbare Kurse, Gebühren, Margin und Kreditrisiko bleiben getrennt.

Vorgehensweise

1. Anspruch und Zeitachse festlegen. Exakten Basiswert und Serie, Call oder Put, Basispreis, Bewertungszeitpunkt, Verfall und Tageszählung, Ausübungstermine und -art, offizielle Erfüllung, Multiplikator, Liefergegenstand, Währung, Dividenden, Leihe, Anpassungen und Ausgabeeinheiten erfassen.
2. Gitter wählen und dokumentieren. N, Delta t = T / N und Parametrisierung bestimmen. Die verbreitete CRR-Wahl lautet u = exp(sigma sqrt(Delta t)) und d = 1 / u; andere Bäume können andere Momente treffen und anders konvergieren.
3. Carry und Diskontierung trennen. B = exp(r Delta t) aus dem modellkonsistenten Nullzins und G = exp((r - q) Delta t) aus dem stetigen Carry bilden; danach p = (G - d) / (u - d) berechnen. Eine bekannte Bardividende erfordert eine explizite Ex-Dividenden-Behandlung am Knoten und kann die einfache Rekombination aufheben.
4. Zustände und Endansprüche aufbauen. In einem rekombinierenden Baum mit konstanten Faktoren gilt S(i,j) = S0 u^j d^(i-j). Die vertragliche Regel für Call, Put, Barzahlung, physische oder angepasste Lieferung, Barriere, Durchschnitt oder sonstige Endzahlung ist auf die offizielle Variable anzuwenden; Pfadabhängigkeit benötigt zusätzlichen Zustand.
5. Rückwärts rechnen und Ausübung testen. An jedem Knoten den risikoneutralen Wert der Folgeknoten diskontieren. Für europäische Rechte nur Fortsetzung verwenden, für amerikanische H und C an jedem zulässigen Termin vergleichen und für bermudische nur an Vertragsterminen sowie unter Einhaltung von Mitteilung und Erfüllung.
6. Replikation und Numerik validieren. An jedem Ein-Schritt-Knoten Delta = (V_u - V_d) / (S_u - S_d) und die Cashposition b = (u V_d - d V_u) / [B(u - d)] berechnen. Zustandszahlungen, Grenzen, Parität, Schrittverdopplung, Gerade-Ungerade-Oszillation, alternative Bäume, unabhängigen Code und Ausübungsgrenze prüfen.
7. Modellausgabe auf das Konto übertragen. Kurven, Dividenden, Leihe und die Basispreis-Laufzeit-Oberfläche kalibrieren; den Einheitswert mit tatsächlichem Multiplikator und Stückzahl umrechnen; ausführbares Geld und Brief vergleichen; diskrete Absicherung, Gaps, Kosten, Liquidität, Margin, Zuteilung, Erfüllung, Steuern und Modellversion stressen.

Durchgerechnete Beispiele

• Einperiodige Replikation. Es seien S0 = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05 und ein europäischer Call mit K = $100. Dann ist p = (1.05 - 0.80) / (1.20 - 0.80) = 0.625; die Zahlungen sind $20/$0; und C0 = [0.625 x $20 + 0.375 x $0] / 1.05 = $11.904762. Die Replikation ergibt Delta = ($20 - $0) / ($120 - $80) = 0.50 und b = -$38.095238. Das Portfolio zahlt im Aufwärtszustand $60 - $40 = $20 und im Abwärtszustand $40 - $40 = $0; seine Anfangskosten sind $50 - $38.095238 = $11.904762.
• Amerikanischer Put und vorzeitige Ausübung. Verwenden Sie einen Zwei-Schritt-Baum mit S0 = $100, K = $100, u = 1.20, d = 0.80, B = G = 1.05; somit gilt p = 0.625. Die Endzahlungen des Puts bei $144/$96/$64 sind $0/$4/$36. Am ersten Aufwärtsknoten beträgt die Fortsetzung [0.625 x $0 + 0.375 x $4] / 1.05 = $1.428571 und liegt über dem inneren Wert $0. Am Abwärtsknoten beträgt sie [0.625 x $4 + 0.375 x $36] / 1.05 = $15.238095 und liegt unter der sofortigen Ausübung von $20; daher wird ausgeübt. Der amerikanische Wert beträgt $7.993197, der europäische $6.292517 und die diskrete Frühausübungsprämie $1.700680.
• Carry und nicht monotone Konvergenz. Es seien S0 = $100, K = $100, T = 1, r = 5% stetig verzinst, die stetige Rendite q = 2% und sigma = 20% annualisiert. Im CRR-Baum kostet der europäische Call bei einem Schritt $11.073541, bei zwei $8.342293, bei drei $9.855621, bei vier $8.760327 und bei 64 Schritten $9.196691; er nähert sich dem konsistenten Black-Scholes-Merton-Wert von $9.227006. Mehr Schritte verbessern den Modellgrenzwert, müssen sich aber nicht monoton bewegen und korrigieren keine falschen Cashflows.
• Modellwert gegenüber ausführbaren Kontobeträgen. Verwenden Sie wieder den Wert je Aktie von $11.904762, aber unterstellen Sie einen ausführbaren Markt von $11.60 bid / $12.20 ask. Der Kauf eines Standardkontrakts mit M = 100 und Q = 1 kostet $12.20 x 100 = $1,220, gegenüber dem Modellbetrag $11.904762 x 100 = $1,190.4762; die Differenz beträgt vor Gebühren $29.5238. Ein sofortiger Verkauf zum Geldkurs bringt $11.60 x 100 = $1,160 zurück und erzeugt einen Hin-und-zurück-Verlust von $60. Delta = 0.50 entspricht bei diesem Multiplikator 50 Aktien, doch diskrete Anpassung, Gaps, Leihe und Ausführung verhindern eine garantierte Replikation.

Modell- und Lebenszyklusprüfung

• Exakten Basiswert, Wurzel, Call oder Put, Basispreis, Verfall, Ausübungsart, Erfüllung, Multiplikator, Währung und Liefergegenstand abgleichen.
• Bewertungszeit, Kalender, Zeitzone, Jahresbruch, Schritte, Knotentermine und Geschäftstagsbehandlung festlegen.
• Parametrisierung offenlegen und prüfen, ob Momente, Carry, Schiefe oder andere Ziele zum beabsichtigten Modell passen.
• B zur Diskontierung von G für Carry getrennt halten, wenn Dividenden, Fremdzinsen, Convenience Yield oder Leihe relevant sind.
• d < G < u verlangen; liegt p außerhalb von [0,1], ist das arbitragefreie Schema verletzt, nicht eine Prognosewahrscheinlichkeit gefunden.
• Stetige Rendite q von bekannten diskreten, besonderen, unsicheren oder pfadabhängigen Ausschüttungen trennen.
• Endzahlung anhand offizieller Erfüllung, Bar- oder physischer Lieferung, angepasster Kontrakte und Kapitalmaßnahmen prüfen.
• Ausreichenden Zustand für Barrieren, Durchschnitte, Lookbacks, mehrere Vermögenswerte, stochastische Volatilität oder Zinsen, Kredit und sonstige Pfadabhängigkeit ergänzen.
• Frühausübung nur dem Inhaber des vertraglichen Rechts und an gültigen Terminen vor Mitteilungsfristen zuordnen.
• Amerikanische, bermudische und europäische Ausübungsgelegenheiten von Bar-, physischer oder Futures-Erfüllung trennen.
• Jeden Knoten protokollieren, an dem H größer als C ist, und die Grenzsensitivität gegenüber Dividenden, Zinsen, Leihe und Numerik testen.
• Knotenreplikation und Zustandszahlungen prüfen, wenn die Annahmen Vollständigkeit implizieren; in der Praxis keine kostenlose stetige Absicherung annehmen.
• Arbitragegrenzen, Parität, Monotonie, Konvexität und Grenzfälle prüfen, bevor einem Preis vertraut wird.
• Mehrere Schrittzahlen, gerade und ungerade Folgen, Verdopplung, andere Parametrisierungen und eine unabhängige Implementierung vergleichen.
• Oszillation, stabile Dezimalstellen oder Übereinstimmung verwandter Codepfade nicht als Genauigkeitsbeweis behandeln.
• Relevante vollständige Oberfläche und Kurven kalibrieren; historische Volatilität oder ein ATM-Kurs ist nicht universell.
• Modellwert, theoretischen Mittelpunkt, Börsenmarke, offizielle Erfüllung, ausführbares Geld, ausführbaren Brief und Liquidationspreis trennen.
• Einheitsausgaben mit tatsächlichem Multiplikator und Stückzahl umrechnen; angepasste oder nicht standardisierte Kontrakte verwenden möglicherweise nicht 100.
• Geld-Brief-Spanne, Teilausführungen, Zeitpunkt diskreter Absicherung, Sprünge, Handelsunterbrechungen, Liquidität, Finanzierung, Leihe, Margin, Zuteilung und Brokerliquidation stressen.
• Eingaben, Datenquelle, Version von Dividenden und Kapitalmaßnahmen, Code und Solver, Konvergenznachweis, Freigaben, Kosten, Steuern und Endabstimmung aufbewahren.

Häufige Missverständnisse

• „Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit prognostiziert die nächste Bewegung.“ p ist ein mit handelbaren Vermögenswerten und Arbitragefreiheit konsistentes Bewertungsgewicht, keine physische Prognose.
• „Der risikofreie Faktor gehört immer in beide Formeln.“ Die Diskontierung verwendet B, das Gewicht des Basiswerts den Carry-Faktor G; beide stimmen nur im vereinfachten Fall ohne Rendite überein.
• „Mehr Schritte garantieren einen richtigen Preis.“ Verfeinerung behandelt nur die Diskretisierung eines Modells; sie kann oszillieren und korrigiert keine falschen Dividenden, Volatilitäten, Erfüllungen oder Ausübungsregeln.
• „Der amerikanische Wert ist der europäische Wert plus eine feste Prämie.“ Der Frühausübungswert hängt von Zustand, Datum, Zinsen, Dividenden, Leihe und Modell ab und kann null sein.
• „Replikation macht den Bildschirmkurs risikofrei.“ Der Beweis setzt Vollständigkeit und Reibungsfreiheit voraus; ausführbare Spreads, diskrete Hedges, Gaps, Finanzierung, Margin, Steuern und Erfüllung bleiben bestehen.

Verwandte Themen

• Amerikanische und europäische Optionen
• Black-Scholes-Modell
• Implizite Volatilität

Maßgebliche Quellen

• Option Pricing: A Simplified Approach - Elsevier; begründet diskrete CRR-Replikation und risikoneutrale Bewertung unter seinen Annahmen, nicht aktuelle Eingaben oder ausführbare Preise.
• Two-State Option Pricing - Wiley; entwickelt die Bewertung mit zwei Zuständen, behauptet aber weder nur zwei reale Ergebnisse noch einen eindeutigen Preis in jedem unvollständigen Markt.
• Binomial Models for Option Valuation - Examining and Improving Convergence - Taylor & Francis; stützt Aussagen zu Oszillation, Parametrisierung und Konvergenz der untersuchten Modelle, nicht universelle Fehlergrenzen.
• Pricing the American Put Option: A Detailed Convergence Analysis for Binomial Models - Elsevier; stützt die Konvergenz amerikanischer Puts und Beschleunigungsgrenzen der untersuchten Bäume, nicht aller Produkte oder Preise.
• American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods - Oxford University Press; stützt Grenzen und Vergleiche unter bestimmten Annahmen, nicht Broker-Ausübungsregeln oder garantierte Genauigkeit.
• Characteristics and Risks of Standardized Options - The Options Clearing Corporation; behandelt Rechte, Ausübung, Zuteilung, Erfüllung, Anpassungen und Risiken, nicht Binomialkalibrierung oder Empfehlungen.
• Industry Services - The Options Clearing Corporation; dokumentiert eine eigene CRR-Variante für bestimmte Delta-Dienste, nicht die Implementierung dieses Artikels oder einen universellen Preis.
• Options Calculator - Cboe Global Markets; bietet aktuelle Bildungswerkzeuge für theoretische Preise und Griechen, nicht ausführbare Kurse, unabhängige Validierung oder eine Garantie der Vertragsannahmen.