Heston-Modell: risikoneutrale Varianz, numerische Verfahren und Kalibrierung

Pruefen Sie Heston anhand risikoneutraler Parameter, Varianzgrenzen, korrelierter Schocks, Konventionen der charakteristischen Funktion, quotierungsgewichteter Kalibrierung und numerischer Validierung.

Nur zu Bildungszwecken; keine Anlageberatung. Investitionen koennen zu Verlusten fuehren.

Direkte Antwort

Unter einem einheitlichen risikoneutralen Mass Q legt das Heston-Modell dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q) und dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q) fest, wobei d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt gilt. Die fuenf zentralen Bewertungsparameter sind v_0, theta, kappa, xi und rho.

Sofern keine Abbildung der Varianzrisikopraemie vom physischen auf das risikoneutrale Mass angegeben ist, handelt es sich um risikoneutrale Kalibrierungsparameter. Sie koennen stochastische Varianz, Abwaertsskew und Laufzeiteffekte erzeugen. Ein kalibrierter Parametersatz ist jedoch weder eine eindeutige Marktwahrheit noch eine Volatilitaetsprognose oder ein Beleg fuer die Qualitaet einer Absicherung.

In sieben Schritten aufbauen, kalibrieren und validieren

Fixieren Sie Anspruch, Ausuebungs- und Abrechnungsregeln, Waehrung, Marktzeitpunkt, Forward, Diskontkurve, Dividenden, Wertpapierleihe und die Frage, ob das physische Mass P oder das Bewertungsmass Q verwendet wird.
Geben Sie die SDE und Einheiten an: v_0 und theta sind annualisierte Varianzen, kappa hat die Einheit 1/year, xi die Einheit 1/sqrt(year), und rho ist dimensionslos und liegt in [-1, 1]. Dokumentieren Sie jede Abbildung der Varianzrisikopraemie von P auf Q.
Fordern Sie zulaessige Vorzeichen und Korrelationen und pruefen Sie anschliessend 2 kappa theta >= xi^2. Der exakte Quadratwurzelprozess ist nicht negativ. Die hinreichende Feller-Bedingung betrifft die Unerreichbarkeit von null beziehungsweise strikte Positivitaet; ihr Nichterfuellen macht weder die exakte Varianz negativ noch jeden Preis ungueltig.
Fixieren Sie die Konvention der charakteristischen Funktion, etwa phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)], sowie Log-Preis- oder Log-Forward-Koordinaten, Fourier-Vorzeichen, Daempfung, Diskontierung, Zweige der komplexen Quadratwurzel und des Logarithmus, Integrationsgrenze, Gitter und Toleranz.
Bereinigen Sie synchronisierte, ausfuehrbare Geld- und Briefkurse, Volumen, Forward, Diskontierung, Dividenden und Kapitalmassnahmen. Entfernen Sie nach dokumentierten Regeln veraltete, gekreuzte oder volumenlose Kurse sowie Verletzungen statischer Arbitrage, und legen Sie fest, ob das Ziel nach Preis, impliziter Volatilitaet, Vega, Spread oder anders gewichtet wird.
Kalibrieren Sie von mehreren Startpunkten und berichten Sie Grenzen, gegebenenfalls Feller-Strafterme, alternative nahezu optimale Parametersaetze, spreadnormalisierte Residuen, Gradienten oder die Konditionierung der Jacobi-Matrix sowie Parameterinstabilitaet und nicht nur einen RMSE.
Validieren Sie Put-Call-Paritaet, Grenzfaelle deterministischer Volatilitaet, Konvergenz von Quadratur und FFT, Gegenpruefungen mit Differenzenverfahren oder Monte Carlo, Verzerrungen des Simulationsschemas, Preise ausserhalb der Stichprobe und Absicherungs-P/L. Stressen Sie anschliessend Spruenge, Ereignisse, Liquiditaet, Rekalibrierung und Abrechnung.

Vier durchgerechnete Beispiele

Momente und Feller-Diagnose. Es seien v_0 = 0.09, theta = 0.04, kappa = 2, xi = 0.30, rho = -0.70 und t = 0.5. Dann gelten E^Q[v_t] = 0.0583939721 und sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473; die Halbwertszeit der Varianz betraegt 0.3465735903 year = 4.1588830834 months, und 2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09. Die hinreichende Bedingung ist erfuellt, aber sqrt(E[v_t]) ist weder E[sqrt(v_t)] noch eine implizite Optionsvolatilitaet.
Konstruktion korrelierter Schocks. Mit rho = -0.70, Z_S = -1.2 und dem unabhaengigen Z_perp = 0.5 ergibt sich Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214. Fuer S = $100, v = 0.04, r = 4%, q = 1.5%, kappa = 2, theta = 0.04, xi = 0.30 und Delta t = 1/252 liefert eine einfache Euler-Diagnose S_next = $98.4980627429, v_next = 0.0445245047 und sqrt(v_next) = 0.2110083048. Dies prueft Vorzeichen und Einheiten; das einfache Euler-Verfahren ist keine Empfehlung fuer den Produktivbetrieb.
Erwartete integrierte Varianz. Mit dem ersten Parametersatz und T = 1.5 gilt E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years. Die durchschnittliche erwartete Varianz ist 0.0558368822, ihre Quadratwurzel 0.2362982907. Sie ist weder die realisierte Varianz eines einzelnen Pfades noch eine direkt quotierte Options-IV.
Kalibrierungsgewichte veraendern die Diagnose. Drei Kurse weisen die Werte Geld/Brief/Modell/Vega (5.10, 5.30, 5.18, 12), (2.00, 2.10, 2.08, 4) und (0.45, 0.55, 0.60, 1.5) auf. Die Residuen zum Mittelkurs sind -0.02, +0.03 und +0.10; durch den halben Spread normiert sind sie -0.2, +0.6 und +2.0. Die Preis-SSE betraegt 0.0113, die spreadgewichtete SSE 4.40, und die Vega-normalisierten Residuen betragen -0.0016667, +0.0075 und +0.0666667 in dezimalen Volatilitaetseinheiten. Die Zielfunktion bestimmt, welchen Fehler der Optimierer als wesentlich einstuft.

Modell-, Kalibrierungs- und numerische Risiken

Physische und risikoneutrale Parameter vermischen oder die Varianzrisikopraemie auslassen.
Varianz mit Volatilitaet verwechseln oder die falsche Quadratwurzelumrechnung anwenden.
Annualisierte Einheiten fuer Jahre, Tage, Zinsen, Dividenden und Volatilitaet vermischen.
Falsche Eingaben fuer Forward, Diskontierung sowie kontinuierliche oder diskrete Dividenden verwenden.
Ungueltige Parametervorzeichen oder rho ausserhalb von [-1, 1] zulassen.
Ein Nichterfuellen der Feller-Bedingung als negative exakte Varianz oder automatische Modellungueltigkeit behandeln.
Naive Euler-Pfade verwenden, die negative Varianz und verzerrte Auszahlungen erzeugen.
Verzerrungs- und Konvergenzunterschiede zwischen Trunkierungs-, QE- und exakten Verfahren ignorieren.
Konventionen fuer Log-Preis, Log-Forward, Fourier-Vorzeichen oder charakteristische Funktion vermischen.
Inkonsistente Zweige komplexer Quadratwurzeln oder Logarithmen waehlen und dadurch die Little Heston Trap ausloesen.
Eine unzureichende Integrationsgrenze, Quadraturaufloesung, FFT-Daempfung oder Toleranz verwenden.
Tests fuer deterministische Volatilitaet, Put-Call-Paritaet, Wahrscheinlichkeiten und unabhaengige Bewertungsverfahren nicht bestehen.
Auf veraltete, asynchrone, indikative, gekreuzte oder volumenlose Kurse kalibrieren.
Eine durch statische Arbitrage oder Kapitalmassnahmen verzerrte Flaeche in die Kalibrierung einspeisen.
Mittelkursfehler als ausfuehrbar behandeln und Geld-Brief-Spanne sowie Volumen ignorieren.
Unterstellen, dass Preis-, IV-, Vega- und spreadgewichtete Zielfunktionen gleichwertig sind.
Trotz lokaler Minima, flacher Richtungen und schwacher Identifikation nur einem Startpunkt vertrauen.
Eine einzelne Flaeche ueberanpassen, ohne Preise und Absicherungen ausserhalb der Stichprobe zu validieren.
Annehmen, dass das kontinuierliche Heston-Modell mit konstanten Parametern Spruenge, Ereignisse, Ausfall, jede Smile-Form und die kuenftige Flaechendynamik erfasst.
Liquiditaet, Kosten, Margin, Produktabrechnung, Rekalibrierungskontrollen und Modellgovernance auslassen.

Haeufige Missverstaendnisse

“Heston prognostiziert Volatilitaet.” Das Modell legt bedingte Dynamiken fest, nachdem Mass und Parameter gewaehlt wurden.
“Bei Verletzung der Feller-Bedingung wird die Varianz negativ und jeder Preis ungueltig.” Exaktes Randverhalten und numerische Diskretisierung sind unterschiedliche Fragen.
“Geschlossene Form bedeutet, dass keine Numerik erforderlich ist.” Die Heston-Bewertung benoetigt weiterhin eine Inversion der charakteristischen Funktion und numerische Kontrollen.
“Die beste Anpassung identifiziert Dynamik und Absicherung eindeutig.” Verschiedene Parametersaetze und Zielfunktionen koennen aehnlich gut passen.
“Stochastische Volatilitaet erfasst Crashs und jede Smile-Form.” Das Standard-Heston-Modell bleibt eine kontinuierliche Diffusion mit konstanten Parametern.