교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다. 투자로 손실이 발생할 수 있습니다.
직접 답변
울티마(Ultima)는 기초자산 가격, 시간, 금리, 배당 및 다른 모든 모형 입력을 고정할 때 선택한 변동성 입력에 따라 옵션의 Vomma(Volga라고도 함)가 어떻게 변하는지를 측정합니다. 여기서 쓰는 규약에 따라 모형 가치를 V, 소수로 표시한 변동성을 σ라고 하면:
Vega = ∂V/∂σ, Vomma = ∂²V/∂σ², Ultima = ∂³V/∂σ³ = ∂Vomma/∂σ입니다.
울티마는 국소적인 삼차 모형 민감도입니다. 선택한 입력이 변할 때 이차 변동성 근사가 어떻게 더 휘는지를 보여 주지만, IV를 예측하거나 수익을 보장하지 않으며 실제 변동성 표면의 모든 변화를 설명하지도 않습니다. 표면 기반 결과는 어느 노드를 움직이고 무엇을 고정하는지에도 좌우됩니다.
범위: 이 글은 이론적 민감도를 설명할 뿐, 거래소 상장 또는 장외 상품의 조건이나 가격도 아니고 계좌 단위 위험 계산도 아닙니다. 예시는 유럽형 Black-Scholes 모형 출력이며 체결 가능한 호가가 아닙니다. OIC와 OCC 자료는 미국 거래소 거래 옵션에 관한 것입니다. 상품 조건, 중개사 규정, 세금 및 법률은 시장, 계좌, 관할권 및 시점에 따라 달라질 수 있으므로 최신 공식 문서와 자격 있는 전문가를 확인해야 합니다. 이 글은 개인별 투자, 법률 또는 세무 조언을 제공하지 않습니다.
작동 원리와 단위
현재 변동성 주변의 테일러 근사는 다음과 같습니다.
ΔV ≈ Vega×Δσ + ½×Vomma×(Δσ)² + ⅙×Ultima×(Δσ)³
이 전개는 변동성 효과만 분해합니다. Delta, Gamma, Theta, 금리, 배당, 스큐 및 체결 조건도 가격에 영향을 줍니다. Vega와 Vomma 자체도 달라지므로 Δσ가 크면 전체 재평가가 더 적합합니다.
단위는 주요 오류 원인입니다. 소수 변동성을 쓰는 모형은 30%를 0.30으로 입력하지만, 화면은 30%→31%를 한 변동성 포인트로 표시할 수 있습니다. 소수 변동성 세제곱당 울티마를 포인트 세제곱당 수치로 바꾸려면 100³ = 1,000,000으로 나눕니다. 일부 업체는 IV가 한 포인트 움직일 때 화면에 표시된 Vomma의 변화량을 직접 제시하므로 비교 전에 정의를 확인해야 합니다.
울티마는 양수 또는 음수일 수 있고, 머니니스, 만기, 금리, 배당 및 모형에 따라 부호가 바뀔 수 있습니다. 부호는 선택한 IV 입력이 상승할 때 국소 Vomma가 어떻게 변하는지만 말하며 강세·약세 신호가 아닙니다.
유한차분 예시
주가 $110, 행사가 $100, 잔존기간 육개월, 연속복리 무위험금리 4%, 무배당인 유럽형 Call을 Black-Scholes 가정으로 평가합니다. IV 29%, 30%, 31%에서 각각 재평가합니다.
Black-Scholes Vomma 공식에 따르면 소수 변동성 제곱당 Vomma는 약 26.2235(IV 29%)와 약 21.6499(IV 31%)입니다. 30% 부근의 중앙 유한차분은 다음과 같습니다.
Ultima ≈ (21.6499 − 26.2235) ÷ (0.31 − 0.29) = −228.7
이 규약에서는 주당·소수 변동성 세제곱당 약 −228.7달러입니다. 이를 백만으로 나누면 주당·변동성 포인트 세제곱당 약 −0.0002287달러입니다. 음수는 이 입력 부근에서 IV가 상승하면 국소 Vomma가 감소한다는 뜻입니다.
이는 모형 단위 검산이지 거래 예측이 아닙니다. 범프 크기, 미국형 행사, 배당, IV 표면, 반올림 또는 다른 모형은 결과를 바꿀 수 있습니다. 표준 100주 승수는 표시된 Greek이 주당 수치임을 확인한 뒤 적용해야 합니다.
위험과 실무 통제
- 주가, 행사가, 정확한 만기 시각, 행사 방식, IV 표면, 금리, 배당, 차입, 모형, 범프 크기 및 단위를 함께 기록합니다.
- IV를 위아래로 움직여 Vomma를 다시 계산하고 전체 소수 변동성 간격으로 나누어 표시된 울티마를 검증합니다.
- 여러 범프 크기를 시험합니다. 결과가 크게 바뀌면 수치 잡음 또는 불안정한 국소 근사일 수 있습니다.
- 모든 레그를 같은 규약으로 통일한 뒤
per-share Greek × signed contracts × multiplier로 합산합니다. - 변동성 표면 전체가 평행 이동한다고 가정하지 말고 행사가와 만기별로 충격을 적용합니다.
- 큰 움직임, 이벤트, 단기 옵션, 깊은 내가격·외가격 또는 조기행사 특성이 있는 포지션은 전체 재평가합니다.
- Bid/Ask 스프레드, 유동성, 배정, 증거금 및 이산적 헤지를 포함합니다. 수학적 정밀도가 체결 가능성을 뜻하지 않습니다.
- 모형 간 차이를 불확실성으로 취급합니다. 고차 미분은 가격, 곡선, 배당 및 표면 보간의 작은 오류를 증폭합니다.
흔한 오해
- “울티마는 IV의 변화율이다.” 가정한 IV 변화에 대한 Vomma의 민감도이며 IV 예측이 아닙니다.
- “울티마가 음수면 옵션을 매도해야 한다.” 부호는 모형의 국소 곡률을 설명할 뿐 기대수익을 뜻하지 않습니다.
- “울티마가 Vega와 Vomma를 대체한다.” 추가 항일 뿐이며 작은 변화에서는 보통 일차와 이차 위험이 지배적입니다.
- “두 플랫폼의 값을 바로 비교할 수 있다.” 소수와 포인트, 주당과 계약당, 모형 및 범프 방식이 다를 수 있습니다.
- “울티마 하나가 포트폴리오를 요약한다.” 행사가와 만기마다 표면 충격이 달라질 수 있어 순노출이 작아도 개별 레그 위험은 클 수 있습니다.
- “고차 Greek을 추가하면 모형 위험이 사라진다.” 고차 미분은 더 불안정하고 입력 및 수치 오류에 더 민감할 수 있습니다.
관련 주제
권위 있는 출처
- The Pricing of Options and Corporate Liabilities — Fischer Black, Myron Scholes
- Theory of Rational Option Pricing — Robert C. Merton
- Vega — Options Industry Council
- Characteristics and Risks of Standardized Options — Options Clearing Corporation