Penilaian Opsi dengan Pohon Trinomial: Kisi Tiga Keadaan dan Eksekusi Dini

Bangun kisi rekombinasi naik-tengah-turun, kalibrasikan probabilitas netral risiko, lalu uji diskonto mundur, eksekusi dini, dan konvergensi.

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Pohon trinomial menilai opsi pada kisi waktu dan harga diskret, tempat harga aset acuan naik, tetap di tingkat tengah, atau turun pada setiap langkah. Setelah probabilitas transisi netral risiko dikalibrasikan, pohon menghitung payoff saat jatuh tempo lalu bergerak mundur ke nilai kini dengan mendiskontokan nilai tertimbang probabilitas di setiap simpul.

Cabang tengah tambahan memberi lebih banyak derajat kebebasan daripada pohon binomial untuk mencocokkan momen, menyelaraskan simpul dengan harga eksekusi atau batas penghalang, dan memperbaiki perilaku numerik. Cabang tambahan tidak otomatis membuat harga lebih akurat; parameterisasi, jumlah langkah, dividen, aturan eksekusi, perlakuan batas, dan input pasar menentukan hasilnya.

Pohon sangat berguna untuk opsi bergaya Amerika karena setiap simpul dapat membandingkan nilai kelanjutan dengan eksekusi langsung. Ketiga harga tersebut adalah keadaan numerik, bukan ramalan bahwa saham hanya akan memiliki tiga harga itu. Artikel ini membahas penilaian teoretis opsi saham biasa, terutama opsi yang tercatat di bursa AS dan diterbitkan oleh OCC, berdasarkan pemeriksaan pada 2026-08-22; persetujuan pialang, margin rekening, serta perlakuan pajak dan hukum bergantung pada produk dan yurisdiksi. Karena itu, pastikan ketentuan kontrak dan rekening terkini kepada pialang, bursa, materi OCC, dan penasihat yang memenuhi syarat.

Kisi dan induksi mundur

Untuk langkah sepanjang Δt, tentukan pengali harga u > m > d dan probabilitas pᵤ, pₘ, p_d. Pohon rekombinasi diatur agar lintasan seperti naik lalu turun kembali ke simpul yang sudah ada sehingga jumlah simpul tetap terkendali. Di sini, r dan q adalah tingkat berbunga majemuk kontinu selama satu langkah.

Probabilitas netral risiko harus memenuhi setidaknya:

pᵤ + pₘ + p_d = 1

dan, dengan hasil dividen berkelanjutan q,

pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt).

Setiap skema trinomial menambahkan syarat varians atau pencocokan momen untuk menentukan tiga probabilitas dan pengali; normalisasi dan pertumbuhan ekspektasian saja tidak melengkapi pasar satu periode dengan tiga keadaan ataupun memilih satu ukuran netral risiko yang unik. Semua probabilitas harus berada di antara nol dan satu. “Probabilitas” negatif menunjukkan kisi yang tidak sah atau parameter yang tidak selaras, bukan prediksi yang dapat diperdagangkan.

Saat habis masa berlakunya, tetapkan V = max(S−K,0) untuk Call atau max(K−S,0) untuk Put. Pada setiap node sebelumnya, nilai kelanjutan Eropa adalah

V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d).

Untuk opsi Amerika, gunakan

V = max(V_continue, intrinsic value).

Ulangi sampai ke akarnya. Dividen tunai yang terpisah memerlukan transisi pohon saham atau node untuk mencerminkan penurunan ex-dividen. Yunani dapat diperkirakan dari titik-titik tetangga, namun penyelarasan grid dan perbedaan terbatas menimbulkan gangguan numerik.

Contoh satu langkah yang berhasil

Misalkan S₀ = $100, harga eksekusi Put K = $105, dan faktor pertumbuhan bebas risiko satu langkah R = 1.02. Gunakan u = 1.10, m = 1.00, d = 0.90 dan probabilitas berikut. Angka ini merupakan input pengajaran hipotetis tanpa dividen, bukan kalibrasi terhadap opsi yang memiliki kuotasi atau kumpulan data pasar.

pᵤ = 0.35, pₘ = 0.50, p_d = 0.15.

Jumlahnya satu, dan pertumbuhan saham yang diharapkan adalah demikian

0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R.

Harga saham akhir	Payoff Put `max(105−S,0)`	Payoff tertimbang probabilitas
`$110`	`$0`	`$0`
`$100`	`$5`	`$2.50`
`$90`	`$15`	`$2.25`

Nilai Put Eropa adalah

V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569.

Untuk Put Amerika, nilai eksekusi langsung di akar adalah $105 − $100 = $5. Karena $5 > $4.6569, model satu langkah ini memilih eksekusi dan menilai Put Amerika sebesar $5.

Sebagai pemeriksaan dengan asumsi Eropa dan tanpa dividen yang sama, Call terkait membayar $5 hanya pada keadaan naik, sehingga C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157. Lalu C − P = −$2.9412, sama dengan S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412.

Pemeriksaan dan risiko model

Nyatakan parameterisasi pohon secara tepat; istilah “trinomial” saja tidak menentukan u, d, ataupun probabilitas.
Tolak probabilitas negatif dan verifikasi syarat pertumbuhan serta varians yang netral risiko.
Tambah jumlah langkah dan catat konvergensinya, alih-alih memercayai satu kisi saja.
Bandingkan hasil opsi Eropa dengan Black-Scholes berdasarkan asumsi yang sama, lalu periksa nilai intrinsik dan batas tanpa arbitrase.
Bandingkan nilai opsi Amerika dengan nilai opsi Eropa dan periksa batas eksekusinya.
Modelkan dividen diskret, suku bunga, biaya pinjaman, jenis eksekusi, penyelesaian, dan penyesuaian kontrak secara tepat.
Selaraskan harga eksekusi, batas penghalang, dan tanggal dividen penting dengan kisi bila memungkinkan.
Uji tekanan pada volatilitas, jumlah langkah, diskretisasi waktu, dan kondisi batas.
Pisahkan nilai model dari harga Bid/Ask yang dapat dieksekusi, biaya, selisih eksekusi, dan volume yang tersedia.
Gunakan implementasi independen atau kasus acuan untuk mendeteksi kesalahan pengindeksan dan diskonto.

Kesalahpahaman umum

“Ketiga cabang meramalkan harga naik, tetap, dan turun.” Ketiganya adalah keadaan numerik yang dikalibrasi untuk penilaian.
“Probabilitasnya adalah frekuensi historis.” Nilai tersebut merupakan bobot netral risiko yang ditentukan model.
“Lebih banyak cabang menjamin ketepatan.” Pohon trinomial yang dikalibrasi dengan buruk tetap memberi hasil keliru.
“Eksekusi dini pada contoh membuktikan bahwa pemegang sebenarnya harus mengeksekusi sekarang.” Kesimpulan itu bergantung pada kisi yang sangat kasar dan input yang dihilangkan.
“Harga model adalah kuotasi wajar yang dapat dieksekusi.” Eksekusi bergantung pada penawaran dan permintaan, spread, persediaan, dan biaya.
“Konvergensi membuktikan model itu benar.” Konvergensi hanya menunjukkan stabilitas numerik dalam asumsi, bukan kecocokan asumsi dengan pasar.