Model Heston: Varians Netral Risiko, Mesin Numerik, dan Kalibrasi

Audit Heston melalui parameter netral risiko, batas varians, guncangan berkorelasi, konvensi fungsi karakteristik, kalibrasi berbobot kuotasi, dan validasi numerik.

Hanya untuk tujuan edukasi; bukan merupakan nasihat investasi atau rekomendasi investasi. Investasi dapat mengakibatkan kerugian.

Jawaban langsung

Di bawah ukuran netral risiko yang lazim Q, model Heston menetapkan dS_t / S_t = (r - q)dt + sqrt(v_t)dW_t^(S,Q) dan dv_t = kappa(theta - v_t)dt + xi sqrt(v_t)dW_t^(v,Q), dengan d<W^(S,Q), W^(v,Q)>_t = rho dt. Lima parameter penetapan harga utamanya ialah v_0, theta, kappa, xi, dan rho.

Parameter tersebut adalah parameter kalibrasi netral risiko kecuali pemetaan premi risiko varians dari ukuran fisik ke netral risiko dinyatakan. Model dapat menghasilkan varians stokastik, skew sisi bawah, dan efek jangka waktu, tetapi satu set hasil fitting bukan kebenaran pasar yang unik, prakiraan volatilitas, atau bukti mutu lindung nilai.

Bangun, kalibrasikan, dan validasi dalam tujuh langkah

Kunci klaim, aturan exercise dan penyelesaian, mata uang, cap waktu pasar, forward, kurva diskonto, dividen, biaya pinjam, dan apakah tugas memakai ukuran fisik P atau ukuran penetapan harga Q.
Nyatakan SDE dan unit: v_0 dan theta adalah varians tahunan, kappa berunit 1/year, xi berunit 1/sqrt(year), dan rho tak berdimensi dalam [-1, 1]. Dokumentasikan pemetaan premi risiko varians dari P ke Q.
Wajibkan tanda dan korelasi yang valid, lalu evaluasi 2 kappa theta >= xi^2. Proses akar kuadrat eksak tidak negatif; kondisi Feller yang memadai menyangkut apakah nol tidak dapat dicapai atau proses tetap positif, sedangkan pelanggarannya tidak membuat varians eksak menjadi negatif atau seluruh harga tidak valid.
Kunci konvensi fungsi karakteristik, misalnya phi(u;T) = E^Q[exp(iu ln S_T)], beserta koordinat log-harga atau log-forward, tanda Fourier, damping, diskonto, cabang akar kuadrat dan logaritma kompleks, batas integrasi, grid, serta toleransi.
Bersihkan data bid, ask, ukuran, forward, diskonto, dividen, dan aksi korporasi yang sinkron serta dapat dieksekusi. Buang kuotasi usang, bersilang, berukuran nol, dan pelanggaran arbitrase statis menurut aturan terdokumentasi; tentukan apakah objektif memakai bobot harga, volatilitas tersirat, Vega, spread, atau lainnya.
Kalibrasikan dari beberapa titik awal dan laporkan batas, penalti Feller bila digunakan, set alternatif yang hampir optimal, residual ternormalisasi spread, kondisi gradien atau Jacobian, dan ketidakstabilan parameter, bukan hanya satu RMSE.
Validasi paritas put-call, limit volatilitas deterministik, konvergensi kuadratur dan FFT, pemeriksaan silang beda hingga atau Monte Carlo, bias skema simulasi, harga dan P/L lindung nilai di luar sampel, lalu uji stres lompatan, peristiwa, likuiditas, kalibrasi ulang, dan penyelesaian.

Empat contoh terhitung

Momen dan diagnostik Feller. Misalkan v_0 = 0.09, theta = 0.04, kappa = 2, xi = 0.30, rho = -0.70, dan t = 0.5. Maka E^Q[v_t] = 0.0583939721, sqrt(E^Q[v_t]) = 0.2416484473, waktu paruh pembalikan rata-rata adalah 0.3465735903 year = 4.1588830834 months, dan 2 kappa theta = 0.16 > xi^2 = 0.09. Kondisi memadai terpenuhi, tetapi sqrt(E[v_t]) bukan E[sqrt(v_t)] ataupun volatilitas tersirat opsi.
Konstruksi guncangan berkorelasi. Dengan rho = -0.70, Z_S = -1.2, dan Z_perp = 0.5 yang independen, gunakan Z_v = rho Z_S + sqrt(1 - rho^2)Z_perp = 1.1970714214. Untuk S = $100, v = 0.04, r = 4%, q = 1.5%, kappa = 2, theta = 0.04, xi = 0.30, dan Delta t = 1/252, diagnostik Euler sederhana menghasilkan S_next = $98.4980627429, v_next = 0.0445245047, dan sqrt(v_next) = 0.2110083048. Ini menguji tanda dan unit; Euler sederhana bukan rekomendasi produksi.
Varians terintegrasi yang diharapkan. Dengan set parameter pertama dan T = 1.5, E^Q[integral_0^T v_t dt] = theta T + (v_0 - theta)(1 - e^(-kappa T))/kappa = 0.0837553233 variance-years. Rata-rata varians yang diharapkan adalah 0.0558368822, dengan akar 0.2362982907. Nilai itu bukan varians terealisasi satu lintasan atau IV opsi yang dikuotasikan langsung.
Bobot kalibrasi mengubah diagnosis. Tiga kuotasi memiliki nilai bid/ask/model/Vega (5.10, 5.30, 5.18, 12), (2.00, 2.10, 2.08, 4), dan (0.45, 0.55, 0.60, 1.5). Residual midpoint ialah -0.02, +0.03, dan +0.10; residual ternormalisasi setengah spread ialah -0.2, +0.6, dan +2.0. SSE harga adalah 0.0113, SSE berbobot spread 4.40, dan residual ternormalisasi Vega ialah -0.0016667, +0.0075, dan +0.0666667 dalam desimal volatilitas. Fungsi objektif mengubah galat yang dianggap serius oleh pengoptimal.

Risiko model, kalibrasi, dan numerik

Mencampur parameter fisik dan netral risiko atau mengabaikan premi risiko varians.
Merancukan varians dengan volatilitas atau memakai konversi akar kuadrat yang salah.
Mencampur unit tahun, hari, suku bunga, dividen, dan annualisasi volatilitas.
Menggunakan input forward, diskonto, dividen kontinu, atau dividen diskret yang keliru.
Mengizinkan tanda parameter tidak valid atau rho di luar [-1, 1].
Menganggap kegagalan Feller sebagai varians eksak negatif atau model otomatis tidak valid.
Menggunakan lintasan Euler naif yang menghasilkan varians negatif dan payoff bias.
Mengabaikan perbedaan bias dan konvergensi antara truncation, QE, dan skema eksak.
Mencampur konvensi log-harga, log-forward, tanda Fourier, atau fungsi karakteristik.
Memilih cabang akar kuadrat atau logaritma kompleks yang tidak konsisten dan memicu Little Heston Trap.
Menggunakan batas integrasi, resolusi kuadratur, damping FFT, atau toleransi yang tidak memadai.
Gagal dalam uji volatilitas deterministik, paritas put-call, probabilitas, dan mesin independen.
Mengkalibrasi kuotasi usang, asinkron, indikatif, bersilang, atau berukuran nol.
Memasukkan permukaan dengan arbitrase statis atau distorsi aksi korporasi ke kalibrasi.
Menganggap galat midpoint dapat dieksekusi sambil mengabaikan bid-ask dan ukuran.
Menganggap objektif harga, IV, Vega, dan berbobot spread setara.
Memercayai satu titik awal meski ada minimum lokal, arah datar, dan identifikasi lemah.
Melakukan overfitting pada satu permukaan tanpa validasi harga dan lindung nilai di luar sampel.
Menganggap Heston kontinu berparameter konstan menangkap lompatan, peristiwa, gagal bayar, semua smile, dan dinamika permukaan mendatang.
Mengabaikan likuiditas, biaya, margin, penyelesaian produk, kontrol kalibrasi ulang, dan tata kelola model.

Kesalahpahaman umum

“Heston memprediksi volatilitas.” Model menetapkan dinamika bersyarat setelah ukuran dan parameter dipilih.
“Kegagalan Feller membuat varians negatif dan semua harga tidak valid.” Perilaku batas eksak dan diskretisasi numerik adalah persoalan berbeda.
“Bentuk tertutup berarti tanpa numerik.” Penetapan harga Heston tetap memerlukan inversi fungsi karakteristik dan kontrol numerik.
“Fitting terbaik mengidentifikasi dinamika dan lindung nilai secara unik.” Set parameter dan objektif berbeda dapat menghasilkan fitting serupa.
“Volatilitas stokastik menangkap crash dan setiap smile.” Heston standar tetap merupakan difusi kontinu berparameter konstan.