การกำหนดราคาออปชันด้วยต้นไม้ไตรนาม: โครงข่ายสามสถานะและการใช้สิทธิก่อนกำหนด

สร้างโครงข่ายแบบรวมกิ่งขึ้น-กลาง-ลง ปรับเทียบความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยง แล้วตรวจสอบการคิดลดย้อนหลัง การใช้สิทธิก่อนกำหนด และการลู่เข้า

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

ต้นไม้ไตรนามกำหนดราคาออปชันบนโครงข่ายเวลาและราคาแบบไม่ต่อเนื่อง โดยในแต่ละขั้นราคาสินทรัพย์อ้างอิงจะปรับขึ้น คงอยู่ที่ระดับกลาง หรือปรับลง หลังจากปรับเทียบความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงแล้ว แบบจำลองจะคำนวณผลตอบแทน ณ วันหมดอายุ และคิดลดย้อนกลับมายังปัจจุบันจากค่าที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นในทุกโหนด

กิ่งกลางที่เพิ่มขึ้นทำให้มีอิสระมากกว่าต้นไม้ทวินามในการจับคู่โมเมนต์ จัดโหนดให้ตรงกับราคาใช้สิทธิหรือระดับกั้น และปรับพฤติกรรมเชิงตัวเลข แต่การมีกิ่งเพิ่มไม่ได้ทำให้ราคาแม่นยำขึ้นโดยอัตโนมัติ ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับวิธีกำหนดพารามิเตอร์ จำนวนขั้น เงินปันผล กติกาการใช้สิทธิ การจัดการขอบเขต และข้อมูลตลาดที่ป้อนเข้า

ต้นไม้เหมาะเป็นพิเศษกับออปชันแบบอเมริกัน เพราะทุกโหนดเปรียบเทียบมูลค่าจากการถือต่อกับมูลค่าจากการใช้สิทธิทันทีได้ ราคาทั้งสามเป็นสถานะเพื่อการคำนวณ ไม่ใช่คำพยากรณ์ว่าหุ้นจะมีเพียงสามราคานั้น บทความนี้ครอบคลุมการประเมินมูลค่าทางทฤษฎีของออปชันหุ้นแบบทั่วไป โดยเน้นออปชันที่จดทะเบียนในตลาดสหรัฐและออกโดย OCC ตามที่ตรวจสอบเมื่อ 2026-08-22 ส่วนการอนุมัติของโบรกเกอร์ หลักประกันในบัญชี ภาษี และกฎหมายขึ้นอยู่กับผลิตภัณฑ์และเขตอำนาจ จึงควรตรวจสอบเงื่อนไขปัจจุบันกับโบรกเกอร์ ตลาดซื้อขาย เอกสาร OCC และผู้เชี่ยวชาญที่มีคุณสมบัติ

โครงข่ายและการคำนวณย้อนหลัง

สำหรับช่วงเวลา Δt ให้กำหนดตัวคูณราคา u > m > d และความน่าจะเป็น pᵤ, pₘ, p_d ต้นไม้แบบรวมกิ่งจะกำหนดให้เส้นทางอย่างการขึ้นแล้วลงกลับมายังโหนดเดิมที่มีอยู่ จึงควบคุมจำนวนโหนดได้ ในที่นี้ r และ q เป็นอัตราแบบทบต้นต่อเนื่องตลอดหนึ่งขั้น

ความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงต้องเป็นไปตามเงื่อนไขอย่างน้อยดังนี้

pᵤ + pₘ + p_d = 1

และเมื่ออัตราผลตอบแทนเงินปันผลต่อเนื่องเท่ากับ q

pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt).

แบบจำลองไตรนามแต่ละแบบจะเพิ่มเงื่อนไขความแปรปรวนหรือการจับคู่โมเมนต์เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นและตัวคูณทั้งสาม การทำให้ผลรวมเท่ากับหนึ่งและการกำหนดการเติบโตคาดหมายเพียงอย่างเดียวไม่ทำให้ตลาดหนึ่งงวดที่มีสามสถานะเป็นตลาดสมบูรณ์ และไม่เลือกมาตรวัดที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงได้เพียงค่าเดียว ความน่าจะเป็นทุกค่าต้องอยู่ระหว่างศูนย์กับหนึ่ง ค่า “ความน่าจะเป็น” ติดลบหมายถึงโครงข่ายหรือพารามิเตอร์ไม่ถูกต้อง ไม่ใช่การคาดการณ์ที่นำไปซื้อขายได้

เมื่อหมดอายุ ให้กำหนด V = max(S−K,0) สำหรับ Call หรือ max(K−S,0) สำหรับ Put ที่โหนดก่อนหน้าแต่ละโหนด มูลค่าจากการถือต่อของออปชันแบบยุโรปคือ

V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d).

สำหรับออปชันแบบอเมริกัน ให้ใช้

V = max(V_continue, intrinsic value).

ทำซ้ำจนถึงโหนดราก หากมีเงินปันผลเงินสดแบบไม่ต่อเนื่อง ต้นไม้ราคาหุ้นหรือการเปลี่ยนผ่านระหว่างโหนดต้องสะท้อนราคาที่ลดลงในวันขึ้นเครื่องหมาย อาจประมาณค่ากรีกจากโหนดข้างเคียงได้ แต่การจัดแนวโครงข่ายและผลต่างจำกัดทำให้เกิดสัญญาณรบกวนเชิงตัวเลข

ตัวอย่างคำนวณหนึ่งขั้น

กำหนด S₀ = $100 ราคาใช้สิทธิของ Put คือ K = $105 และตัวคูณการเติบโตปลอดความเสี่ยงหนึ่งขั้นคือ R = 1.02 ใช้ u = 1.10, m = 1.00, d = 0.90 และความน่าจะเป็นต่อไปนี้ ตัวเลขเหล่านี้เป็นข้อมูลสมมติเพื่อการสอนโดยไม่มีเงินปันผล ไม่ใช่การปรับเทียบกับออปชันที่มีราคาเสนอซื้อขายหรือชุดข้อมูลตลาด

pᵤ = 0.35, pₘ = 0.50, p_d = 0.15.

ผลรวมเท่ากับหนึ่ง และการเติบโตคาดหมายของหุ้นเท่ากับ

0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R.

ราคาหุ้นปลายงวด	ผลตอบแทน Put `max(105−S,0)`	ผลตอบแทนถ่วงน้ำหนักความน่าจะเป็น
`$110`	`$0`	`$0`
`$100`	`$5`	`$2.50`
`$90`	`$15`	`$2.25`

มูลค่า Put แบบยุโรปคือ

V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569.

สำหรับ Put แบบอเมริกัน มูลค่าจากการใช้สิทธิทันทีที่โหนดรากคือ $105 − $100 = $5 เนื่องจาก $5 > $4.6569 แบบจำลองหนึ่งขั้นนี้จึงเลือกใช้สิทธิและให้มูลค่า Put แบบอเมริกันเท่ากับ $5

เพื่อตรวจสอบภายใต้สมมติฐานแบบยุโรปและไม่มีเงินปันผลเช่นเดียวกัน Call ที่สอดคล้องกันจะจ่าย $5 เฉพาะในสถานะขึ้น ดังนั้น C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157 แล้ว C − P = −$2.9412 ซึ่งตรงกับ S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412.

การตรวจสอบแบบจำลองและความเสี่ยง

ระบุวิธีกำหนดพารามิเตอร์ของต้นไม้ให้ชัดเจน เพราะคำว่า “ไตรนาม” เพียงอย่างเดียวไม่ได้กำหนด u, d หรือความน่าจะเป็น
ปฏิเสธความน่าจะเป็นติดลบ และตรวจสอบเงื่อนไขการเติบโตกับความแปรปรวนที่เป็นกลางต่อความเสี่ยง
เพิ่มจำนวนขั้นและบันทึกการลู่เข้า แทนการเชื่อถือโครงข่ายเพียงชุดเดียว
เปรียบเทียบผลแบบยุโรปกับ Black-Scholes ภายใต้สมมติฐานเดียวกัน และตรวจสอบขอบเขตมูลค่าในตัวกับขอบเขตไร้อาร์บิทราจ
เปรียบเทียบมูลค่าแบบอเมริกันกับแบบยุโรป และตรวจสอบแนวเขตการใช้สิทธิ
สร้างแบบจำลองเงินปันผลไม่ต่อเนื่อง อัตราดอกเบี้ย ต้นทุนการยืม รูปแบบการใช้สิทธิ การชำระราคา และการปรับสัญญาให้ถูกต้อง
จัดราคาใช้สิทธิ ระดับกั้น และวันจ่ายเงินปันผลที่สำคัญให้ตรงกับโครงข่ายเมื่อทำได้
ทดสอบภาวะตึงตัวของความผันผวน จำนวนขั้น การแบ่งเวลา และทางเลือกของขอบเขต
แยกมูลค่าแบบจำลองออกจาก Bid/Ask ที่ซื้อขายได้จริง ค่าธรรมเนียม ความคลาดเคลื่อนของราคา และปริมาณที่มี
ใช้การพัฒนาแบบอิสระหรือกรณีมาตรฐานเพื่อตรวจหาข้อผิดพลาดด้านดัชนีและการคิดลด

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“สามกิ่งคือคำพยากรณ์ว่าราคาจะขึ้น คงที่ หรือลง” ทั้งสามเป็นสถานะเชิงตัวเลขที่ปรับเทียบเพื่อการกำหนดราคา
“ความน่าจะเป็นคือโอกาสเกิดตามประวัติศาสตร์” ค่านี้เป็นน้ำหนักที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงซึ่งแบบจำลองกำหนด
“มีกิ่งมากขึ้นย่อมแม่นยำ” ต้นไม้ไตรนามที่ปรับเทียบไม่ดีก็ยังให้ผลผิด
“ผลการใช้สิทธิก่อนกำหนดในหนึ่งขั้นพิสูจน์ว่าผู้ถือจริงควรใช้สิทธิเดี๋ยวนี้” ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับตัวอย่างหยาบและข้อมูลที่ละไว้
“ราคาแบบจำลองคือราคาเสนอซื้อขายที่ยุติธรรมและทำรายการได้” การซื้อขายจริงขึ้นอยู่กับอุปสงค์อุปทาน ส่วนต่างราคา สินค้าคงคลัง และต้นทุน
“การลู่เข้าหมายความว่าแบบจำลองเป็นจริง” การลู่เข้าแสดงเพียงเสถียรภาพเชิงตัวเลขภายใต้สมมติฐาน ไม่ได้แสดงว่าสมมติฐานตรงกับตลาด