Trinomial Tree Option Pricing：三状態格子と早期行使

教育目的のみであり、投資助言ではありません

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Trinomial Tree は時間と価格を離散格子にし、原資産が各ステップで上昇、中間水準維持、下落する三状態を作ります。リスク中立遷移確率を調整し、満期 Payoff を計算してから各 Node の確率加重価値を割り引き、現在まで後ろ向きに解きます。

Binomial Tree より多い中間枝は、Moment Matching、Strike/Barrier への Node 配置、数値挙動の改善に自由度を与えます。ただし自動的に精度が上がるわけではなく、パラメータ、Step 数、配当、行使規則、境界、入力が結果を決めます。

Tree は各 Node で継続価値と即時行使を比較できるため American Option に有用です。三価格は実際の株価予測ではなく数値状態です。

時間幅 Δt に株価倍率 u > m > d、確率 pᵤ、pₘ、p_d を定めます。再結合 Tree は上昇後下落などの経路を既存 Node に戻し、Node 数を抑えます。

リスク中立確率は少なくとも、

pᵤ + pₘ + p_d = 1

および連続配当利回り q のとき、

pᵤu + pₘm + p_dd = e^((r−q)Δt)

を満たします。具体的方式は分散または Moment 条件も加えます。全確率は 0 から 1 でなければならず、負値は無効な Grid/Parameter を示します。

満期に Call は V = max(S−K,0)、Put は max(K−S,0)。前の Node の European 継続価値は、

V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)。

American Option は、

V = max(V_continue, 本源的価値)

を使います。根まで反復します。離散現金配当は Ex-Dividend 下落を Tree または遷移に反映します。隣接 Node から Greeks を推定できますが Grid と差分による Noise があります。

S₀ = $100、Put Strike K = $105、無リスク成長因子 R = 1.02。u = 1.10、m = 1.00、d = 0.90、確率を、

pᵤ = 0.35、pₘ = 0.50、p_d = 0.15

とします。合計は 1、期待株価成長は、

0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R。

European Put は、

V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569。

American Put の根での即時行使は $105 − $100 = $5。$5 > $4.6569 のため、この 1 ステップ Tree は行使を選び価値を $5 とします。

確認として European Call は上昇時だけ $5 を払い、C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157。C − P = −$2.9412 は S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412 と一致します。