Somente para fins educacionais; não constitui recomendação nem aconselhamento de investimento. Investir pode causar perdas.
Resposta direta
Uma árvore trinomial precifica uma opção em uma grade discreta de tempo e preço, na qual o ativo subjacente sobe, permanece em um nível intermediário ou cai a cada etapa. Após calibrar as probabilidades de transição neutras ao risco, calcula os payoffs no vencimento e volta até o presente, descontando em cada nó o valor ponderado pelas probabilidades.
O ramo intermediário extra oferece mais liberdade do que uma árvore binomial para combinar momentos, alinhar nós com preços de exercício ou barreiras e melhorar o comportamento numérico. Isso não torna o preço automaticamente mais preciso. A parametrização, número de etapas, dividendos, regra de exercício, tratamento de limites e dados de mercado determinam o resultado.
As árvores são especialmente úteis para opções de estilo americano porque cada nó permite comparar o valor de continuação com o exercício imediato. São modelos numéricos, não previsões de que a ação assumirá apenas três preços. Este artigo trata da avaliação teórica de opções simples sobre ações, sobretudo opções listadas em bolsas dos Estados Unidos e emitidas pela OCC, conforme verificado em 2026-08-22; aprovação da corretora, margem da conta e tratamento tributário e jurídico variam por produto e jurisdição, portanto confirme os termos vigentes do contrato e da conta com a corretora, a bolsa, os materiais da OCC e profissionais habilitados.
Rede e indução reversa
Para um passo de duração Δt, defina os multiplicadores do preço u > m > d e as probabilidades pᵤ, pₘ, p_d. Uma árvore recombinante é parametrizada para que trajetórias como subir e depois cair retornem a um nó existente, mantendo controlado o número de nós. Aqui, r e q são taxas com capitalização contínua durante o passo.
As probabilidades neutras ao risco devem satisfazer pelo menos:
pᵤ + pₘ + p_d = 1
e, com rendimento de dividendos contínuo q,
pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt).
Cada esquema trinomial acrescenta condições de variância ou ajuste de momentos para determinar as três probabilidades e os multiplicadores; normalização e crescimento esperado, sozinhos, não tornam completo um mercado de um período com três estados nem selecionam uma medida neutra ao risco única. Todas as probabilidades devem ficar entre zero e um. Uma “probabilidade” negativa indica grade inválida ou parâmetros incompatíveis, não uma previsão negociável.
No vencimento, defina V = max(S−K,0) para uma opção de compra (Call) ou max(K−S,0) para uma opção de venda (Put). Em cada nó anterior, o valor de continuação europeu é
V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d).
Para uma opção de estilo americano, use
V = max(V_continue, intrinsic value).
Repita até a raiz. Dividendos em dinheiro discretos exigem que a árvore de ações ou transições de nós reflitam a queda ex-dividendos. Os gregos podem ser estimados a partir de nós vizinhos, mas o alinhamento da grade e as diferenças finitas introduzem ruído numérico.
Exemplo trabalhado em uma etapa
Considere S₀ = $100, preço de exercício da Put K = $105 e fator de crescimento livre de risco de um passo R = 1.02. Use u = 1.10, m = 1.00, d = 0.90 e as probabilidades a seguir. São entradas hipotéticas, sem dividendos e apenas didáticas; não representam calibração a uma opção cotada nem a um conjunto de dados de mercado.
pᵤ = 0.35, pₘ = 0.50, p_d = 0.15.
Eles somam um, e o crescimento esperado das ações é
0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R.
| Preço final da ação | Payoff da Put max(105−S,0) |
Payoff ponderado pela probabilidade |
|---|---|---|
$110 |
$0 |
$0 |
$100 |
$5 |
$2.50 |
$90 |
$15 |
$2.25 |
O valor da Put europeia é
V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569.
Para uma Put americana, o exercício imediato na raiz vale $105 − $100 = $5. Como $5 > $4.6569, este modelo de um passo escolhe o exercício e avalia a Put americana em $5.
Como conferência sob as mesmas premissas europeias e sem dividendos, a Call correspondente paga $5 apenas no estado de alta; portanto, C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157. Assim, C − P = −$2.9412, igual a S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412.
Verificações e riscos do modelo
- Informar a parametrização exata da árvore; “trinomial” por si só não define
u,dnem as probabilidades. - Rejeitar probabilidades negativas e verificar as condições de crescimento e variância neutras ao risco.
- Aumentar o número de passos e registrar a convergência, em vez de confiar em uma única grade.
- Comparar os resultados europeus com Black-Scholes sob as mesmas premissas e verificar os limites de valor intrínseco e de ausência de arbitragem.
- Confrontar os valores americanos com os europeus e examinar a fronteira de exercício.
- Modelar corretamente dividendos discretos, taxas, custo de empréstimo, modalidade de exercício, liquidação e ajustes contratuais.
- Alinhar à grade preços de exercício, barreiras e datas de dividendos relevantes, quando possível.
- Submeter a testes de estresse a volatilidade, o número de passos, a discretização do tempo e as condições de contorno.
- Separar o valor do modelo dos preços Bid/Ask executáveis, das tarifas, da derrapagem e do volume disponível.
- Usar uma implementação independente ou casos de referência para detectar erros de indexação e desconto.
Erros comuns
- “Os três ramos preveem alta, estabilidade e baixa.” Eles são estados numéricos calibrados para a precificação.
- “As probabilidades são frequências históricas.” Elas são pesos neutros ao risco determinados pelo modelo.
- “Mais ramos garantem precisão.” Uma árvore trinomial mal calibrada continua produzindo resultados errados.
- “O exercício antecipado do exemplo prova que um titular real deve exercer agora.” A conclusão depende de uma grade muito grosseira e de dados omitidos.
- “O preço do modelo é uma cotação justa e executável.” A execução depende de oferta e demanda, spreads, estoque e custos.
- “A convergência prova que o modelo é verdadeiro.” Ela mostra apenas estabilidade numérica sob as premissas, não que elas representem o mercado.