Оценка опционов триномиальным деревом: решетка с тремя состояниями и досрочное исполнение

Постройте рекомбинирующую решетку «вверх-середина-вниз», откалибруйте нейтральные к риску вероятности и проверьте обратное дисконтирование, досрочное исполнение и сходимость.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Триномиальное дерево оценивает опцион на дискретной решетке времени и цены, где базовый актив на каждом шаге растет, остается на среднем уровне или снижается. После калибровки нейтральных к риску вероятностей перехода оно вычисляет выплаты в момент истечения и движется назад к текущей стоимости, дисконтируя в каждом узле взвешенное по вероятностям значение.

Дополнительная средняя ветвь дает больше степеней свободы, чем биномиальное дерево, для согласования моментов, привязки узлов к ценам исполнения или барьерам и улучшения численных свойств. Это не делает цену автоматически точнее: результат определяют параметризация, число шагов, дивиденды, правило исполнения, обработка границ и рыночные данные.

Деревья особенно полезны для опционов американского типа: в каждом узле можно сравнить стоимость продолжения с немедленным исполнением. Три цены — расчетные состояния, а не прогноз единственных цен, которые примет акция. Статья рассматривает теоретическую оценку простых опционов на акции, прежде всего выпущенных OCC опционов, обращающихся на биржах США, по состоянию на 2026-08-22. Одобрение брокера, маржинальные требования к счету, а также налоговый и правовой режим зависят от продукта и юрисдикции; действующие условия договора и счета следует уточнять у брокера, биржи, в материалах OCC и у квалифицированных специалистов.

Решетка и обратная индукция

Для шага длиной Δt задайте множители цены u > m > d и вероятности pᵤ, pₘ, p_d. Рекомбинирующее дерево параметризуют так, чтобы траектории наподобие движения вверх, а затем вниз возвращались в существующий узел и число узлов оставалось управляемым. Здесь r и q — ставки непрерывного начисления за шаг.

Нейтральные к риску вероятности должны удовлетворять как минимум:

pᵤ + pₘ + p_d = 1

и с постоянной дивидендной доходностью q,

pᵤu + pₘm + p_d d = e^((r−q)Δt).

Конкретная триномиальная схема добавляет условия для дисперсии или моментов, чтобы определить три вероятности и множители; одной нормировки и ожидаемого роста недостаточно, чтобы сделать однопериодный рынок с тремя состояниями полным или выбрать единственную нейтральную к риску меру. Все вероятности должны лежать между нулем и единицей. Отрицательная «вероятность» означает некорректную сетку или несовместимые параметры, а не торговый прогноз.

По истечении срока установите V = max(S−K,0) для колла или max(K−S,0) для пута. В каждом более раннем узле значение европейского продолжения равно

V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d).

Для американского варианта используйте

V = max(V_continue, intrinsic value).

Повторяем до корня. Дискретные денежные дивиденды требуют, чтобы дерево акций или переходы узлов отражали падение без дивидендов. Греки можно оценить по соседним узлам, но выравнивание сетки и конечные разности вносят численный шум.

Пример работы в один шаг

Пусть S₀ = $100, цена исполнения Put K = $105, а безрисковый коэффициент роста за один шаг R = 1.02. Возьмем u = 1.10, m = 1.00, d = 0.90 и следующие вероятности. Это гипотетические учебные данные без дивидендов, а не калибровка по котируемому опциону или рыночному набору данных.

pᵤ = 0.35, pₘ = 0.50, p_d = 0.15.

Их сумма равна единице, и ожидаемый рост акций

0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R.

Конечная цена акции	Выплата Put `max(105−S,0)`	Выплата с учетом вероятности
`$110`	`$0`	`$0`
`$100`	`$5`	`$2.50`
`$90`	`$15`	`$2.25`

Стоимость европейского пута составляет

V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569.

Для американского Put стоимость немедленного исполнения в корне равна $105 − $100 = $5. Поскольку $5 > $4.6569, одношаговая модель выбирает исполнение и оценивает американский Put в $5.

Для проверки при тех же европейских предпосылках и отсутствии дивидендов соответствующий Call выплачивает $5 только в состоянии роста, поэтому C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157. Тогда C − P = −$2.9412, что совпадает с S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412.

Проверки и риски модели

Укажите точную параметризацию дерева: слово «триномиальное» само по себе не определяет u, d и вероятности.
Отбрасывайте отрицательные вероятности и проверяйте нейтральные к риску условия роста и дисперсии.
Увеличивайте число шагов и фиксируйте сходимость, а не полагайтесь на одну сетку.
Сравнивайте европейские результаты с Black-Scholes при одинаковых предпосылках и проверяйте внутреннюю стоимость и безарбитражные границы.
Сопоставляйте американские значения с европейскими и исследуйте границу исполнения.
Правильно моделируйте дискретные дивиденды, ставки, стоимость заимствования, тип исполнения, расчеты и корректировки контракта.
По возможности совмещайте с сеткой важные цены исполнения, барьеры и даты дивидендов.
Проводите стресс-тесты волатильности, числа шагов, дискретизации времени и граничных условий.
Отделяйте стоимость модели от исполнимых цен Bid/Ask, комиссий, проскальзывания и доступного объема.
Используйте независимую реализацию или эталонные примеры для выявления ошибок индексации и дисконтирования.

Распространённые заблуждения

«Три ветви прогнозируют рост, неизменную цену и падение». Это числовые состояния, откалиброванные для оценки.
«Вероятности — исторические частоты». Это определяемые моделью нейтральные к риску веса.
«Больше ветвей гарантирует точность». Плохо откалиброванное триномиальное дерево по-прежнему дает неверные результаты.
«Досрочное исполнение в примере доказывает, что реальному держателю следует исполнить опцион сейчас». Вывод зависит от очень грубой сетки и пропущенных данных.
«Цена модели — справедливая и исполнимая котировка». Исполнение зависит от спроса и предложения, спредов, запасов и издержек.
«Сходимость доказывает истинность модели». Она показывает лишь численную устойчивость при заданных предпосылках, а не их соответствие рынку.