Trinomial Tree Option Pricing: 3상태 격자와 조기 행사

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

Trinomial Tree는 시간과 가격을 이산 격자로 나누고 기초자산이 각 단계에서 상승, 중간 수준 유지, 하락하는 세 상태를 만듭니다. 위험중립 전이확률을 보정한 뒤 만기 Payoff를 계산하고 각 Node의 확률가중 가치를 할인해 현재까지 역산합니다.

Binomial Tree보다 추가된 중간 가지는 Moment Matching, Strike나 Barrier에 Node 정렬, 수치 거동 개선에 더 많은 자유를 줍니다. 그러나 세 가지가 자동으로 정확도를 높이지는 않으며 매개변수화, Step 수, 배당, 행사 규칙, 경계, 시장 입력이 결과를 결정합니다.

Tree는 모든 Node에서 계속 보유와 즉시 행사를 비교할 수 있어 American Option에 유용합니다. 세 가격은 실제 주가 예측이 아니라 수치 상태입니다.

격자와 후진귀납

시간 간격 Δt에 주가 승수 u > m > d, 확률 pᵤ, pₘ, p_d를 정의합니다. 재결합 Tree는 상승 후 하락 같은 경로를 기존 Node로 되돌려 Node 수를 관리합니다.

위험중립 확률은 최소한

pᵤ + pₘ + p_d = 1

과 연속 배당수익률 q일 때

pᵤu + pₘm + p_dd = e^((r−q)Δt)

를 만족합니다. 구체적인 방식은 분산 또는 Moment 조건을 추가합니다. 모든 확률은 0과 1 사이여야 하며 음수는 유효하지 않은 Grid나 Parameter를 뜻합니다.

만기에 Call은 V = max(S−K,0), Put은 max(K−S,0)으로 둡니다. 앞선 Node의 European 계속가치는

V_continue = e^(−rΔt)(pᵤVᵤ + pₘVₘ + p_dV_d)

입니다. American Option은

V = max(V_continue, 내재가치)

를 사용합니다. Root까지 반복합니다. 이산 현금배당은 Ex-Dividend 하락을 Tree나 전이에 반영해야 합니다. 인접 Node에서 Greeks를 추정할 수 있지만 Grid 정렬과 차분에 수치 Noise가 생깁니다.

1단계 수치 예시

S₀ = $100, Put Strike K = $105, 무위험 성장계수 R = 1.02로 둡니다. u = 1.10, m = 1.00, d = 0.90, 확률은

pᵤ = 0.35, pₘ = 0.50, p_d = 0.15

입니다. 합은 1이고 예상 주가 성장은

0.35(1.10) + 0.50(1.00) + 0.15(0.90) = 1.02 = R

입니다.

만기 주가	Put Payoff `max(105−S,0)`	확률가중 Payoff
`$110`	`$0`	`$0`
`$100`	`$5`	`$2.50`
`$90`	`$15`	`$2.25`

European Put 가치는

V₀ = ($0 + $2.50 + $2.25) / 1.02 = $4.6569

입니다. American Put의 Root 즉시 행사 가치는 $105 − $100 = $5입니다. $5 > $4.6569이므로 이 1단계 Tree는 행사를 선택하고 가치를 $5로 둡니다.

교차검증으로 European Call은 상승 상태에서만 $5를 지급해 C = 0.35($5)/1.02 = $1.7157입니다. C − P = −$2.9412는 S₀ − K/R = $100 − $105/1.02 = −$2.9412와 같습니다.

모델 점검과 위험

구체적 Parameterization을 명시하며 “Trinomial”만으로 u, d, 확률을 정의하지 않습니다.
음의 확률을 거부하고 위험중립 성장과 분산 조건을 검증합니다.
Step을 늘리며 수렴을 기록합니다.
같은 가정의 European 결과를 Black-Scholes와 비교하고 내재가치 및 무차익 경계를 확인합니다.
American 가치가 European 이상인지와 Exercise Boundary를 확인합니다.
이산 배당, 금리, 차입, 행사 방식, 결제, 계약 조정을 올바르게 반영합니다.
중요한 Strike, Barrier, 배당일을 가능하면 Grid에 맞춥니다.
Volatility, Step 수, 시간 이산화, 경계를 Stress Test합니다.
Model Value와 체결 가능한 Bid/Ask, 비용, 슬리피지, Size를 구분합니다.
독립 구현 또는 Benchmark로 Indexing과 Discounting Error를 찾습니다.

흔한 오해

“세 가지는 상승·횡보·하락 예측이다.” 가격 산정을 위한 수치 상태입니다.
“확률은 역사적 발생률이다.” 모델의 위험중립 Weight입니다.
“가지가 많으면 정확하다.” 잘못 보정된 Tree는 여전히 틀립니다.
“1 Step에서 조기 행사면 현실에서도 즉시 행사해야 한다.” 거친 예시와 누락 입력에 의존합니다.
“Model Price는 체결 가능한 공정가다.” 체결은 수급, Spread, 재고, 비용에 달려 있습니다.
“수렴은 모델이 참이라는 뜻이다.” 가정 안의 수치 안정성만 보여 줍니다.