Перейти к содержанию
Financial Context Wiki

Дельта и гамма: локальное направление, кривизна и единицы позиции

Измеряйте локальное направление и кривизну опциона с явными координатами модели, знаковыми количествами, совместимыми множителями, оценками второго порядка, единицами хеджа, конечно-разностными проверками и полной переоценкой.

Обновлено

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Для модельной стоимости V(S, t, σ, ...) дельта является локальной первой производной Delta = ∂V / ∂S, а гамма — локальной кривизной Gamma = ∂²V / ∂S² = ∂Delta / ∂S. Дельта оценивает изменение стоимости при небольшом движении выбранной координаты базового актива на одну единицу; гамма оценивает, как при таком движении меняется дельта.

Обе величины являются модельными результатами на определенный момент времени, а не прогнозами, вероятностями, исполнимыми котировками или постоянными коэффициентами хеджирования. Их смысл зависит от точного требования, знака позиции, ценовой координаты, поверхности волатильности, времени, ставок, выплат, стоимости заимствования, модели исполнения, расчета, единицы котировки, множителя и масштаба поставщика.

Кривая стоимости опциона с касательной для дельты и меняющимися наклонами для гаммы Кривая стоимости опциона с касательной для дельты и меняющимися наклонами для гаммы
Дельта — локальная касательная; гамма — локальная скорость изменения этой касательной.

Ведомость греков с согласованными знаками и единицами

Пусть q — число опционных контрактов со знаком, положительное для длинной и отрицательное для короткой позиции; M — совместимый множитель премии; h — число единиц базового актива со знаком; Delta_i — модельная дельта на единицу опциона; Gamma_i — модельная гамма на единицу опциона и на движение цены на одну единицу. Дельта позиции в эквивалентных базовому активу единицах равна Δ_pos = q × M × Delta_i + h, а гамма позиции — Γ_pos = q × M × Gamma_i. Дельта одной длинной единицы акции равна +1, гамма — 0.

  1. Зафиксируйте точную серию, временную отметку, знак длинной или короткой позиции, количество, множитель, предмет поставки, валюту котировки, координату базового актива, стиль исполнения, способ расчета и версию модели. Не неттируйте греки экономически разных требований только из-за сходства символов.
  2. Укажите координату производной и масштаб. Отличайте спотовую дельту от форвардной, фьючерсной, скорректированной на премию или денежной; отличайте гамму на $1, пункт индекса, пункт фьючерса или 1% spot move; фиксируйте, умножил ли поставщик значение на число контрактов или множитель.
  3. Заморозьте состояние модели: спот или форвард, ставки, дивиденды, стоимость заимствования, время до точного момента экспирации, поверхность волатильности, правило шока sticky-strike или sticky-delta, обработку дискретных событий и численный метод. Отображаемый грек без этого состояния нельзя независимо воспроизвести.
  4. Для небольшого движения ΔS рассчитайте изменение Тейлора на единицу ΔV_Taylor ≈ Delta_i × ΔS + ½ × Gamma_i × (ΔS)² и обновленную локальную дельту Delta_new ≈ Delta_i + Gamma_i × ΔS. Умножьте оценку цены на знаковое q × M; не умножайте повторно уже агрегированное поставщиком значение.
  5. Проверяйте аналитические греки или данные поставщика центральными сдвигами там, где функция цены гладкая: Delta_FD ≈ [V(S + h_S) − V(S − h_S)] / (2h_S) и Gamma_FD ≈ [V(S + h_S) − 2V(S) + V(S − h_S)] / h_S². Уменьшайте и увеличивайте h_S, чтобы выявить эффекты ошибки усечения, потери значимости, сетки или повторной калибровки поверхности.
  6. Агрегируйте только после нормализации каждой ноги к одинаковым эквивалентным базовому активу единицам, единице цены, валюте, временной отметке и соглашению о знаках. Затем добавьте единицы хеджа акциями или фьючерсами и проведите стресс-тест спота, времени, волатильности, скью, ставок, дивидендов, заимствования, скачков и границ исполнения.
  7. Для конечных сценариев используйте полную переоценку как контроль, а для торговли — исполнимые цены bid и ask. Сверяйте исполнения, количество хеджа, комиссии, заимствование, назначение, расчет, версию модели и греки после шока, не считая локальную оценку Тейлора реализованной прибылью или убытком.

Для обычных длинных ванильных коллов и путов в гладкой европейской модели гамма положительна; короткая позиция меняет знак гаммы позиции. Это не универсальное утверждение о цифровых выплатах, барьерах, границах американского исполнения, скорректированных требованиях, портфелях или соглашениях поставщиков. Ближе к экспирации гамма может концентрироваться около страйка и оставаться малой далеко в деньгах или вне денег, а скачки делают непрерывное локальное описание неполным.

Разобранные примеры

  • Локальная оценка цены и хеджа длинного колла. Длинный колл имеет стоимость V_0 = $3.10, Delta_i = 0.42, Gamma_i = 0.06, q = +1 и M = 100. При ΔS = +$1.50 член дельты равен 0.42 × $1.50 = $0.6300 на акцию, а член кривизны — ½ × 0.06 × ($1.50)² = $0.0675, поэтому ΔV_Taylor = $0.6975 на акцию или +$69.75 на контракт. Оценочная стоимость равна $3.7975, а Delta_new ≈ 0.42 + 0.06 × 1.50 = 0.51. Дельта позиции меняется с +42 shares примерно до +51 shares; статический хедж 42 короткими акциями больше не нейтрален.
  • Короткая гамма меняет знаки позиции. Для шести коротких коллов q = −6, M = 100, Delta_i = 0.55 и Gamma_i = 0.04. Начальная дельта позиции равна −330 shares, гамма позиции — −24 shares per $1. При ΔS = +$2 оценочная дельта позиции меняется на −48 shares до −378 shares; прибыль или убыток опционов приблизительно равна −6 × 100 × [0.55 × 2 + ½ × 0.04 × 2²] = −$708. При ΔS = −$2 та же локальная формула дает +$612. Дельта-нейтральный трейдер купил бы около 48 дополнительных акций на росте или продал около 48 на падении до учета затрат и изменений модели.
  • Агрегация портфеля включает акции и знаковые опционные ноги. Держите четыре колла с Delta_i = 0.35 и Gamma_i = 0.025, продайте три пута с Delta_i = −0.40 и Gamma_i = 0.030, используйте M = 100 и продайте 200 shares без покрытия. Опционная дельта равна +140 + 120 = +260 shares; после учета акций чистая дельта равна +60 shares. Опционная гамма равна +10 − 9 = +1 share per $1. При ΔS = +$5 локальная чистая дельта становится примерно +65 shares. Две опционные ноги дают +$825.00 и +$487.50, а акции — −$1,000, поэтому оценка портфеля второго порядка составляет +$312.50 до комиссий, стоимости заимствования, изменений подразумеваемой волатильности и времени.
  • Локальная атрибуция Тейлора и полная переоценка. Для европейского колла с S = 100, K = 100, r = 4%, непрерывной доходностью y = 1%, σ = 25% и τ = 0.5 эталон Блэка-Шоулза дает V_0 = 7.7215522303, Delta_i = 0.5659323171 и Gamma_i = 0.0221205770. При ΔS = +5 оценка второго порядка равна 0.5659323171 × 5 + ½ × 0.0221205770 × 5² = 3.1061687980 на акцию. Полная переоценка при той же подразумеваемой волатильности дает V_1 = 10.8172471731, изменение 3.0956949428, поэтому локальная оценка отличается на 0.0104738552, или примерно $1.047386 при множителе 100. Если подразумеваемая волатильность также возрастает до 30%, полная стоимость равна 12.1628459929; общее изменение 4.4412937626 нельзя объяснить только исходными дельтой и гаммой.

Риски и меры контроля

  • Неверная серия, корневой символ, экспирация, страйк, тип опциона или предмет поставки делают карту греков недействительной.
  • Пропуск знака длинной или короткой позиции меняет знак дельты и гаммы позиции, направление хеджа и атрибуцию прибыли или убытка.
  • Количество контрактов и множитель премии могут быть учтены дважды или пропущены.
  • Скорректированные контракты и опционы на фьючерсы могут использовать единицы, не являющиеся обычными акциями.
  • Спотовая, форвардная, фьючерсная, скорректированная на премию и денежная дельты не взаимозаменяемы.
  • Гамма на единицу цены отличается от гаммы, масштабированной к 1% spot move, или денежной гаммы.
  • Валюта и конвертация FX могут сделать внешне сопоставимые греки несогласованными.
  • Разные временные отметки или устаревшие котировки базового актива и опциона создают ложное неттирование.
  • Греки по средней цене или модели не гарантируют исполнимых цен опциона или хеджа.
  • Выбор поверхности волатильности, sticky-правила, скью и срочной структуры меняет оба грека.
  • Допущения о ставках, дивидендах, заимствовании и финансировании влияют на модельные стоимости и хеджи.
  • Американское исполнение и дискретные дивиденды создают границы, отсутствующие в гладкой европейской формуле.
  • Денежный расчет, физическая поставка и запасы после исполнения создают разные операционные риски.
  • Негладкость около экспирации может сделать гамму большой, нестабильной или зависимой от сетки рядом со страйком.
  • Большие движения делают экстраполяцию с постоянными дельтой и гаммой недействительной.
  • Скачки, приостановки торгов и гэпы обходят допущение о непрерывной ребалансировке.
  • Слишком большие конечно-разностные сдвиги добавляют ошибку усечения, а слишком малые — шум потери значимости.
  • Неттирование разных экспираций, поверхностей, моделей, валют или типов расчета может скрыть базисный риск.
  • Дискретный размер хеджа, bid-ask спред, комиссии, влияние на рынок, заимствование акций и ликвидность меняют реализованный результат.
  • Различия модели, поставщика, округления, назначения, расчета и брокерских записей требуют окончательной сверки.

Распространенные заблуждения

  • «Дельта — универсальная вероятность». Это локальная производная; вероятностные интерпретации требуют конкретных моделей, нумерайров и соглашений.
  • «Дельта остается постоянной». Ее меняют гамма и каждый изменяющийся вход модели.
  • «У дельта-нейтрального портфеля нет риска». Остаются гамма, вега, тета, скачки, базис, ликвидность, исполнение и модельный риск.
  • «Гамма непосредственно прогнозирует изменение цены». Она входит в локальное разложение цены через ½ × Gamma_i × (ΔS)² и сама меняется во время движения.
  • «Точные греки устраняют необходимость полной переоценки». Локальные производные помогают атрибуции; конечные сценарии, исполнение и события жизненного цикла по-прежнему требуют полной оценки и сверки.

Связанные темы

Авторитетные источники

Навигация

Поиск по вики...