Коэффициент Сортино: целевая доходность, отклонение вниз и надежное сравнение

Рассчитывайте и проверяйте коэффициент Сортино с явным рядом целевой доходности, отклонением вниз по полной выборке, согласованными данными, осторожной годовой периодизацией и контролем хвостового риска.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Коэффициент Сортино сопоставляет среднюю доходность сверх заявленной цели со среднеквадратичным дефицитом ниже той же цели. Определите согласованный периодический ряд превышения цели как Xₜ = Rₜ − Tₜ. Прозрачная конвенция по полной выборке выглядит так:

LPM₂(T) = (1 ÷ N) × Σₜ max(0, Tₜ − Rₜ)²

DD_T = √LPM₂(T)

Sortino_T = X̄ ÷ DD_T

Здесь Rₜ — совокупная доходность портфеля, Tₜ — минимально приемлемая доходность или иная цель за тот же период, N — число корректных согласованных наблюдений, а DD_T — целевое отклонение вниз. Периоды на уровне цели или выше остаются в N, но дают нулевой дефицит. Результат неотделим от цели, конвенций доходности и знаменателя, горизонта, дат, валюты, комиссий и метода годовой периодизации.

Это не просто коэффициент Шарпа с удаленными положительными доходностями. Положительная доходность ниже положительной цели входит в риск снижения, а отрицательная доходность может оказаться выше еще более отрицательной цели. Сортино измеряет разброс ниже цели, а не вероятность убытка, максимальную просадку, ожидаемые потери, ликвидность либо величину и последовательность каждой хвостовой потери.

Воспроизводимый процесс из семи шагов

Определите решение и цель. Укажите, относится ли анализ к порогу мандата, росту обязательств, инфляции, доходности денежных средств, нулю или иной требуемой доходности; зафиксируйте, кто выбрал цель, даты ее действия, валюту, базу начисления и горизонт оценки. Цель — ориентир инвестора или мандата, а не универсальная безрисковая константа.
Постройте ряд доходностей. Используйте известные на соответствующий момент совокупные доходности, явно учитывая распределения, дробления, корпоративные действия, денежные потоки, устаревшие или отсутствующие оценки и делистинги. До расчета зафиксируйте арифметические или логарифмические доходности, данные до или после комиссий, валюту с хеджированием или без него, доходность, взвешенную по времени или по деньгам, и временные метки наблюдений.
Постройте согласованный ряд целей. Преобразуйте каждую заявленную годовую цель в сопоставимую доходность периода владения, а не делите механически. Для фиксированной эффективной годовой цели и месячных наблюдений используйте T_month = (1 + T_annual)^(1/12) − 1; для нерегулярных дат или меняющихся денежных ставок формируйте отдельное Tₜ по заявленной конвенции подсчета дней и начисления.
Рассчитайте дефициты по полной выборке. Для каждой корректной пары вычислите shortfallₜ = max(0, Tₜ − Rₜ), возведите результат в квадрат, сохраните нули для периодов без дефицита и разделите сумму на N. Деление на N₋, то есть число периодов дефицита, дает conditional shortfall RMS = √[(1 ÷ N₋)Σ shortfallₜ²] — другой показатель, который нельзя смешивать с первым в одном рейтинге.
Рассчитайте и подпишите коэффициент. В числителе используйте X̄ = (1 ÷ N)Σ(Rₜ − Tₜ), а в знаменателе — соответствующее DD_T. Сообщите исходный периодический коэффициент, цель, число наблюдений, N₋, формулу, даты выборки и достаточную для воспроизведения точность. Если DD_T = 0, укажите, что коэффициент не определен, а не трактуйте бесконечность на экране как доказательство отсутствия риска.
Проверьте риск агрегирования и оценки. Предпочитайте доходности и цели, измеренные на горизонте решения. Такое правило отображения, как annualized Sortino = periodic Sortino × √q, требует сильных предпосылок масштабирования и в общем случае не равно Сортино, рассчитанному по составным доходностям за q периодов. Исследуйте серийную корреляцию, перекрытие, кластеризацию волатильности, асимметрию, сглаживание, малое N₋, доверительные интервалы, блочный bootstrap, зависимость от режима, множественное тестирование и отбор стратегий.
Свяжите показатель с реальным решением. Сверьте коэффициент с накопленной и годовой доходностью, глубиной и длительностью просадки, ожидаемыми потерями, худшими наблюдениями, плечом, маржой, опционами и выпуклостью, ликвидностью, оборотом, финансированием, стоимостью займа, комиссиями, налогами, емкостью, экспозицией к ориентиру и сценарными потерями. Высокий исторический Сортино характеризует одно оцененное распределение относительно одной цели, но не является полной инвестиционной рекомендацией.

Цель определяет и числитель, и знаменатель. Ее изменение может поменять набор наблюдений-дефицитов, а не просто вычесть константу из итогового коэффициента. Храните ряд цели в файле аудита, а не только опубликованную оценку.

Практические примеры

Полная выборка и условный знаменатель. Месячные доходности равны 4%, −2%, 3%, −1%, 2%, 0%, а T = 0%. Среднее составляет 1.0000%. Отклонение вниз по полной выборке равно √[(2² + 1²) ÷ 6] = 0.9129%, поэтому Сортино составляет 1.0000% ÷ 0.9129% = 1.0954. Деление только на два месяца дефицита дает √[(2² + 1²) ÷ 2] = 1.5811% и 0.6325. Оба арифметических результата воспроизводимы, но основаны на разных конвенциях знаменателя.
Положительная доходность может быть снижением относительно цели. Месячные доходности равны 1.5%, 0.8%, −0.5%, 2.0%, 0.2%, 1.0%, а цель — 0.5%. Средняя доходность составляет 0.8333%; дефициты равны 1.0% и 0.3%, причем последний включает положительный месяц 0.2%. Отклонение вниз по полной выборке составляет √[(1.0² + 0.3²) ÷ 6] = 0.4262%, числитель — 0.3333%, а Сортино — 0.7821.
Преобразование цели и маркировка годовой периодизации. Эффективная годовая цель 6.00% превращается в (1.06)^(1/12) − 1 = 0.486755% в месяц, а не ровно в 0.5000%. Если средняя месячная доходность равна 0.8000%, а измеренное месячное отклонение вниз относительно преобразованной цели — 0.7000%, месячный Сортино составляет 0.4475; использование 0.5000% дает 0.4286. По отдельно раскрытой конвенции отображения с квадратным корнем расчет без округления равен 0.447493 × √12 = 1.5502, но это не доказывает коэффициент на составном годовом горизонте.
Хвост остается заметным за пределами коэффициента. Условный ряд за 60 месяцев содержит 59 доходностей по 1.00%, за которыми следует одна доходность −40.00%, при T = 0%. Среднее арифметическое равно 0.3167%, отклонение вниз — √(40² ÷ 60) = 5.1640%, а Сортино — всего 0.0613; накопленное богатство все же выросло на 7.9226%, но просадка последнего месяца равна 40.00%. Показывайте траекторию и хвост, а не только коэффициент.

Риски и процедуры проверки

Публикуйте точный числитель, ряд цели, формулу отклонения вниз, N, N₋, частоту, даты, валюту, базу комиссий и обозначение годовой периодизации.
При конвенции нижнего частичного момента по полной выборке сохраняйте все наблюдения без дефицита как нули; их неявное удаление меняет знаменатель.
Не подменяйте целевое отклонение вниз полуотклонением отрицательных доходностей, полуотклонением ниже среднего или условным RMS дефицита без переименования показателя.
Преобразуйте годовые цели в сопоставимые доходности периода владения по заявленному методу начисления и подсчета дней; annual target ÷ periods обычно лишь приближение.
Согласуйте доходности и цели по временной метке, календарю праздников, валюте и горизонту; сдвиг наблюдений может создать или устранить дефицит.
Используйте совокупные доходности и документируйте дивиденды, распределения, дробления, денежные потоки, делистинги, устаревшие значения, пропуски и корпоративные действия.
Разделяйте показатели до комиссий, после управленческой комиссии, после комиссии за результат, финансирования, займа, транзакционных затрат и налогов; каждый вариант может изменить числитель и отклонение вниз.
Отличайте доходность портфеля, взвешенную по времени, от опыта инвестора, взвешенного по деньгам, и не выводите одно из другого.
Сообщайте N₋ и худшие дефициты; высокий коэффициент на одном небольшом наблюдавшемся промахе статистически неустойчив.
Рассматривайте DD_T = 0 как неопределенный выборочный показатель; отсутствие наблюдавшегося дефицита не делает стратегию безрисковой и не гарантирует положительный будущий коэффициент.
Исследуйте серийную корреляцию, устаревшие или модельные оценки, сглаживание доходностей, перекрывающиеся окна и несинхронное ценообразование, способные занижать измеренный риск снижения.
Не считайте годовую периодизацию через квадратный корень точной для отклонения вниз; пересечение порога и начисление делают многопериодный риск зависимым от траектории.
Пересчитывайте показатель на фактическом горизонте решения и сравнивайте с масштабированным отображением, не смешивая месячный риск снижения с годовым числителем.
Используйте доверительные интервалы или подходящий bootstrap с сохранением зависимости при необходимости; точечные оценки скрывают существенную ошибку выборки.
До тестирования фиксируйте стратегию, цель, инвестиционную вселенную, версию данных и параметры для контроля заглядывания вперед, выживших, позднего заполнения и отбора.
Корректируйте множественные испытания и исследовательский отбор; лучший внутривыборочный Сортино среди многих вариантов может быть случайностью.
Отдельно изучайте асимметрию, эксцесс, потери на разрывах, опционы, короткую волатильность, плечо, требования маржи, правила ликвидации и нелинейные выплаты.
Дополняйте Сортино максимальной просадкой, временем восстановления, ожидаемыми потерями, вероятностью убытка, стресс-тестами, ликвидностью и концентрацией.
Не ранжируйте как сопоставимые коэффициенты с разными целями, периодами, частотами, знаменателями, валютами или учетом комиссий.
Сохраняйте код, исходные доходности, наблюдения цели, исключения, пересмотры и результаты, чтобы опубликованное число можно было воспроизвести и оспорить.

Распространенные заблуждения

«Сортино использует только отрицательные доходности». Он использует доходности ниже цели: положительная доходность может быть дефицитом, а отрицательная — превышать более низкую цель.
«У всех коэффициентов Сортино один знаменатель». Нижние частичные моменты по полной выборке и условные расчеты только по наблюдениям дефицита дают разные значения.
«Целью должен быть ноль или безрисковая ставка». Цель зависит от решения и может представлять мандат, обязательство, инфляцию, денежные средства или иной порог.
«Умножение месячного коэффициента на √12 дает годовой Сортино». Это зависящая от предпосылок конвенция отображения, а не общее тождество для составного годового риска снижения.
«Высокий Сортино доказывает безопасность или мастерство управляющего». Он пропускает многие хвостовые, траекторные, ликвидные, кредитные, затратные и селекционные риски и оценивается с ошибкой.

Связанные темы

Авторитетные источники

Downside Risk: Capturing What’s at Stake in Investment Situations - Сортино и ван дер Меер о риске снижения относительно цели.
Performance Measurement in a Downside Risk Framework - Сортино и Прайс об измерении результата относительно цели.
Asset Allocation in a Downside-Risk Framework - Харлоу о целевом риске снижения и распределении активов.
Mean-Risk Analysis with Risk Associated with Below-Target Returns - Фишберн об анализе средней доходности и риска ниже цели.
Optimal Rules for Ordering Uncertain Prospects - Бава о правилах принятия решений по средней доходности и нижнему частичному моменту.
The Sharpe Ratio - Шарп о дифференциальных доходностях, периоде измерения и сопоставлении средней доходности с дисперсией.
The Statistics of Sharpe Ratios - Ло об ошибке оценки, серийной зависимости и пределах годовой периодизации коэффициентов через квадратный корень.
The Deflated Sharpe Ratio - Бейли и Лопес де Прадо о ненормальности и смещении отбора при оценке множества вариантов стратегии.