ブラック・ショールズモデル：公式、仮定、インプライド・ボラティリティ

教育目的のみであり、投資助言ではありません

直接的な答え

Black-Scholes-Merton モデルは特定の仮定の下で欧州型オプションの無裁定価値基準を示します。入力は原資産価格 S、権利行使価格 K、残存期間 T、連続複利無リスク金利 r、連続配当利回り q、ボラティリティ σ です。

C = Se^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂)

P = Ke^(−rT)N(−d₂) − Se^(−qT)N(−d₁)

ここで d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] / (σ√T)、d₂ = d₁ − σ√T、N(x) は標準正規累積分布関数です。

動的複製と無裁定を組み合わせます。理想的な連続取引では、原資産と無リスク借入・貸付で局所的にヘッジでき、原資産期待収益率を方程式から除いてリスク中立ペイオフの割引期待値を得ます。

標準仮定は対数正規価格、一定のボラティリティと金利、連続取引、ジャンプと取引費用なし、必要な取引・借入能力です。上式は連続配当利回りと欧州型行使を用います。離散配当と米国型行使は調整または数値手法が必要です。

実務では市場価格から σ を逆算します。このインプライド・ボラティリティは選択モデルと価格を整合させる入力です。権利行使価格と満期ごとに異なり、一つの定数ではなく曲面になります。

S = $100、K = $100、T = 1、r = 5%、q = 0%、σ = 20% とします。

d₁ = [0 + (0.05 + 0.20²/2)] / 0.20 = 0.35

d₂ = 0.35 − 0.20 = 0.15

N(0.35) ≈ 0.6368、N(0.15) ≈ 0.5596 より、コールは約 $10.45、プットは約 $5.57 です。

プット・コール・パリティで検算します。

C − P = S − Ke^(−rT) ≈ $100 − $95.12 = $4.88

$10.45 − $5.57 = $4.88。丸めによる微差はあり得ます。これはモデル出力であり約定価格ではありません。