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Black-Scholes-Mertonモデル：契約、入力、インプライド・ボラティリティ、Greeks

オプション請求権、評価時系列、割引、配当、ボラティリティ気配、決済条件、Greek単位を一致させてBlack-Scholes-Mertonモデルを適用します。

更新日

教育目的のみであり、投資助言ではありません。投資では損失が生じる可能性があります。

端的な答え

Black-Scholes-Mertonモデルは無裁定評価枠組みで、法的気配でも原資産予測でもありません。閉形式は所定の拡散、資金調達、配当、取引、市場完備性の下で単純なヨーロピアンを評価します。実際のシリーズ、行使権、受渡物、乗数、公式決済値、通貨を先に特定します。同じ行使価格・満期でも、アメリカン現物決済株式オプションとヨーロピアン現金決済指数オプションは別請求権です。

現物 S₀、行使価格 K、年数 T、連続複利ゼロ金利 r、連続比例配当利回り q、年率ボラティリティ σ の場合、CallとPutは C = S₀e^(−qT)N(d₁) − Ke^(−rT)N(d₂) と P = Ke^(−rT)N(−d₂) − S₀e^(−qT)N(−d₁)、d₁ = [ln(S₀/K) + (r − q + σ²/2)T] ÷ (σ√T)、d₂ = d₁ − σ√T です。N(x) は標準正規累積分布関数で、パリティは C − P = S₀e^(−qT) − Ke^(−rT) です。

インプライド・ボラティリティは選択モデルが選択価格を再現する σ です。契約、時刻、原資産、曲線、配当、気配側、数値法、モデルに依存します。価格、IV、Greekはいずれも約定価格、現実確率、ヘッジ保証ではありません。

7段階の契約・データ・評価・管理プロセス

  1. 式の前に請求権を分類する。 発行体・清算請求権、原資産、種類、行使価格、満期、最終取引、行使方式、公式決済、現金・現物、乗数、受渡物、通貨、調整を記録します。早期行使、障害、調整・経路依存は対応モデルが必要です。
  2. 評価時刻と単位を固定する。 評価時点 t₀、満期・決済時点、時間帯、営業日暦、年換算 T を設定し、最終取引、行使期限、決済決定を分けます。プレミアムとGreeksの単位を明示します。
  3. 同期市場入力を作る。 同時点の現物・先渡、行使価格、割引因子 D(0,T)、配当、借株・資金調達、Bid/Ask/数量を使います。Treasury CMTはパー利回りで、連続複利ゼロ金利 r ではありません。一貫した割引曲線を作ります。
  4. 境界とパリティを確認する。 max(S₀e^(−qT) − Ke^(−rT), 0) ≤ C ≤ S₀e^(−qT) と max(Ke^(−rT) − S₀e^(−qT), 0) ≤ P ≤ Ke^(−rT) を検証します。同一条件だけを比較し、既知現金配当は割引キャッシュフローで橋渡しします。
  5. モデルを明示して実行する。 BSMは連続拡散、一定ボラ・金利、無摩擦連続取引、ジャンプなし、十分な借貸・空売り・複製を仮定します。ツリー等は早期行使・離散事象を、他モデルは別リスクを表しますが追加較正が必要です。
  6. 価格からIVを慎重に逆算する。 無裁定範囲外を調査し、Bid・中値・Askを記録済み求根法で別々に解きます。オプション価値は σ とともに上昇するため、内部の有限ヨーロピアンIVは通常一意ですが、境界ではゼロ・無限・有限解なしとなり得ます。サーフェスの陳腐化・裁定も検証します。
  7. 局所リスクを報告し市場と照合する。 Delta、Gamma、Vega、Theta、Rhoの符号・単位・時間約定を示し、気配とモデル版を保存します。ジャンプ、配当、スキュー、期間構造、借株、離散ヘッジ、費用、流動性を検証し、理論値、約定可能価格、決済、実現現金を分けます。

計算例

  • 閉形式評価とパリティ。 S₀ = $100、K = $100、T = 1、r = 5.00%、q = 2.00%、σ = 20.00% とすると、d₁ = 0.250000、d₂ = 0.050000、N(d₁) = 0.598706326、N(d₂) = 0.519938806 です。C = $9.227006、P = $6.330081、C − P = $2.896925 は $100e^(−0.02) − $100e^(−0.05) = $2.896925 と一致します。乗数・費用前の単位値です。
  • Greeksには単位が必要。 Call Deltaは 0.586851、Put Deltaは −0.393348、Gammaは 0.018951 delta per $1 underlying move。Vegaは 37.901158 per 1.00 volatility、すなわち $0.379012 per 1 volatility point。Call Thetaは −$5.089319 per year、単純表示では1日当たり −$0.013943 per calendar day（÷ 365）です。Call Rhoは 49.458109 per 1.00 decimal rate、すなわち $0.494581 per 100 bp です。契約乗数・数量も掛けます。
  • 市場価格からIVレンジ。 S₀ = $100、K = $100、T = 1、r = 5.00%、q = 2.00% を維持します。Call価格 $11.123762 は σ = 25.00%、d₁ = 0.245000、d₂ = −0.005000 を示します。20.00% と 30.00% の値は $9.227006 と $13.020281。気配 $10.90 bid / $11.35 ask の逆算は 24.410353% bid IV / 25.596190% ask IV です。
  • 既知離散配当とパリティ。 S₀ = $100、K = $95、T = 0.5、連続複利 r = 4.00%、既知配当 $2、その支払時点を t = 0.25 とします。PV(D) = $2e^(−0.04 × 0.25) = $1.980100、PV(K) = $95e^(−0.04 × 0.5) = $93.118874、C − P = S₀ − PV(D) − PV(K) = $4.901026。C = $8.20 なら P = $3.298974。未説明の連続 q やアメリカンへの等式適用は請求権を変えます。

リスクと検証項目

  • シリーズ、法的請求権、商品仕様を確認します。
  • アメリカン、ヨーロピアン等の行使権を確認します。
  • 現金、現物、調整後バスケット、乗数、通貨を区別します。
  • 公式決済源、時刻、丸め、更正、混乱規則を固定します。
  • 現物、オプション、金利、配当、借株を同期します。
  • T で最終取引、満期、行使期限、決済日を区別します。
  • 暦、日数、年率化、複利約定を一致させます。
  • Treasuryパー利回りをゼロ金利に機械変換しません。
  • 既知配当を日付別に扱い、連続 q の限界を認識します。
  • 借株、資金、担保、空売り制約を含めます。
  • 真に一致した請求権・同期入力だけで境界とパリティを検証します。
  • 古い、クロス、ロック、片側、数量不足の気配を警告とします。
  • スプレッドが大きければBid/Ask IVを報告します。
  • 求根失敗、境界解、許容誤差、上限を検証します。
  • サーフェスのカレンダー、垂直、蝶裁定を検証します。
  • ジャンプ、決算、分配、停止、ギャップをストレステストします。
  • 確率ボラ、スキュー、各入力相関を検証します。
  • 離散リバランス、遅延、インパクト、費用を定量化します。
  • 各Greekの符号・尺度・時間を表示し過度に外挿しません。
  • モデル値、約定価格、会計・税務、決済、実現損益を分けます。

よくある誤解

  • 「Black-Scholesは法的・約定可能価格」。 契約が請求権、市場が取引を決め、モデルは条件付き基準です。
  • 「N(d₂)は現実の満期ITM確率」。 所定のニュメレール・仮定下のリスク中立量で、現実予測ではありません。
  • 「IVは直接観測され実現ボラを予測する」。 選択モデルで価格から逆算され、リスクプレミアムや誤差を含み得ます。
  • 「1つのボラとGreeksが全行使価格・満期に適合」。 市場はサーフェスを持ち、感応度は変化します。
  • 「連続Deltaヘッジは全リスクを消す」。 ジャンプ、離散取引、流動性、費用、早期行使、配当・モデル誤差が残ります。

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