股票价格的对数正态假设：数学、用途与局限

仅供教育参考，不构成投资建议

直接答案

经典期权模型常假设未来股票价格服从对数正态分布，也就是连续复利的对数收益服从正态分布。不是价格服从正态，也不是“收益服从对数正态”。几何布朗运动下：

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z]，其中 Z∼N(0,1)。

指数变换让模型价格保持正数，并使多期对数收益可以相加，也能导出便于计算的期权公式。但现实收益存在偏度、厚尾、波动聚集、跳空、停牌和分布变化。对数正态是透明基准，不是市场定律。

分布与定价机制

简单收益为 R=S_T/S_0-1；对数收益为 g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)。对数收益跨期相加，简单收益则乘法复合。价格从 $100 涨至 $110 再跌至 $99，得到 ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%。直接把简单收益 +10% 与 -10% 相加会错误地得到零。

若 ln S_T∼N(m,v)，价格中位数为 e^m，均值为 e^(m+v/2)，众数为 e^(m-v)。右偏价格分布以零为下限，向上没有有限边界。它在有限时间无法真正到达零，因此违约等吸收状态必须另行建模。

Black-Scholes 的风险中性定价使用 (r-q-σ²/2)T 作为预期对数收益，而不是股票的现实预期回报。该分布用于无套利条件下给或有支付定价，并非现实频率预测。常数 σ 还意味着同一到期日所有执行价使用同一隐含波动率，这与实际波动率偏斜或微笑不符。

一年期分布示例

设 S_0=$100，一年对数收益服从均值 5%、标准差 20% 的正态分布。未来价格中位数为 $100e^0.05=$105.13，均值为 $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25，众数为 $100e^(0.05-0.20²)=$101.01。“期望价格”并不等于分布中央或最可能区域。

取 Z=-1 和 Z=+1 近似第 16 与第 84 百分位，得到 $100e^(0.05-0.20)=$86.07 与 $100e^(0.05+0.20)=$128.40。即使对数收益区间对称，美元价格区间也不对称。

另一个复合例子可说明收益口径。股价从 $100 下跌 50% 至 $50，再上涨 50% 只到 $75，累计简单收益为 -25%。对数收益严格相加为 ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%。从 $50 回到 $100 需要上涨 100%。

检验与模型风险清单

使用总回报或正确复权价格；拆股和普通分配会在未复权序列中制造假跳跃。
计算前对齐时间戳、币种、收盘时点、缺失值和非交易日。
明确报告简单收益还是对数收益；只有变动较小时两者才接近。
将样本偏度、超额峰度、1%/5%/95%/99% 分位数、直方图和 Q-Q 图与正态基准比较。
分别检查平静期与危机期；混合不同波动状态本身就会产生厚尾总体分布。
检查收益及平方收益的序列相关；波动聚集违反恒定独立增量假设。
财报、预定事件、长记忆或状态变化附近不能机械使用 √T 缩放。
区分预测使用的现实参数与定价使用的风险中性参数。
跨执行价估值应使用当前隐含波动率曲面，不把单一平值波动率强加给全部合约。
在平滑扩散之外压力测试跳空、违约、停牌、流动性消失和波动率重定价。
在样本外验证参数与对冲误差；拟合历史极端值不证明未来稳定。
路径依赖期权需模拟中间路径和离散误差，而不只采样对数正态终值。

常见误区

“股票收益服从对数正态。”经典说法是价格对数正态、对数收益正态。
“模型价格为正就证明真实。”正值约束不能处理违约、跳空、厚尾或波动状态。
“均值价格就是最可能价格。”对数正态的均值、中位数和众数不同。
“对称的对数收益区间对应对称美元区间。”指数变换会产生不对称价格区间。
“风险中性概率就是真实概率。”它包含定价调整和风险溢价，服务于不同目的。
“年化波动率永远等于日波动率乘 √252。”缩放需要稳定、独立的增量。
“一项历史波动率可给所有期权定价。”市场通常隐含执行价和期限不同的波动率。
“罕见行情应该当异常值删除。”核实数据后，极端值可能正是反驳尾部假设的关键证据。
“只模拟对数正态终值能给全部衍生品定价。”障碍、亚式和美式期权还依赖路径或行权决策。