Cours boursiers lognormaux : hypothèses, mathématiques et limites

Comprenez pourquoi les modèles d'options classiques utilisent des cours boursiers lognormaux, en quoi les rendements simples et logarithmiques diffèrent, comment les prix moyens et médians divergent, et pourquoi les queues épaisses, les sauts et la volatilité changeante limitent l'hypothèse.

À des fins éducatives uniquement ; ne constitue ni un conseil en investissement ni une recommandation d’investissement. Les investissements peuvent entraîner des pertes.

Réponse directe

Les modèles d’options classiques supposent souvent que le prix d’une action future est distribué de manière lognormale, ce qui signifie que son rendement logarithmique composé en continu est normalement distribué. Le prix lui-même n’est pas supposé normal et un rendement n’est pas « lognormal ». Sous mouvement brownien géométrique :

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z], où Z∼N(0,1).

Ici, μ est la dérive du prix sous la mesure de probabilité retenue, σ la volatilité et T l’horizon. L’exponentiation maintient les prix modélisés positifs, rend les rendements logarithmiques multipériodes additifs et conduit à des formules d’options maniables. Les marchés réels ne satisfont pas exactement cette hypothèse : les rendements présentent asymétrie, queues épaisses, regroupement de volatilité, sauts, interruptions de cotation et distributions changeantes. La lognormalité est un repère transparent, pas une loi du marché.

Mécanismes de distribution et de tarification

Le rendement simple est R=S_T/S_0-1 ; le rendement logarithmique est g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R). Les rendements logarithmiques s’additionnent dans le temps, tandis que les rendements simples se composent par multiplication. Une hausse de $100 à $110, puis une baisse à $99, donne ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%. Additionner +10% et -10% comme rendements simples conduirait à tort à zéro.

Si ln S_T∼N(m,v), le prix médian est e^m, la moyenne est e^(m+v/2) et le mode est e^(m-v). La distribution des prix asymétrique à droite a une limite inférieure nulle et aucune limite supérieure finie. Il ne peut pas atteindre exactement zéro dans un temps fini, donc les défauts et autres événements absorbants sont absents à moins d’être modélisés séparément.

Sous la mesure physique, choisir μ suppose d’estimer ou de poser un rendement. Sous la mesure risque-neutre de Black-Scholes, la dérive du prix devient r−q ; la moyenne du rendement logarithmique est donc (r-q-σ²/2)T. Cette distribution valorise les créances conditionnelles sous l’hypothèse d’absence d’arbitrage ; elle ne prévoit pas les fréquences réelles. Une σ constante impliquerait aussi une même volatilité implicite pour tous les prix d’exercice d’une échéance, contrairement au skew ou au smile observé.

Un exemple de distribution sur un an

Soit S_0=$100, et supposons que le rendement logarithmique à un an soit normal, de moyenne 5% et d’écart-type 20%. La médiane du prix futur vaut $100e^0.05=$105.13, sa moyenne $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25 et son mode $100e^(0.05-0.20²)=$101.01. Le « prix attendu » ne correspond donc ni au centre ni à la valeur la plus probable de la distribution.

En prenant Z=-1 et Z=+1 comme approximations des 16e et 84e centiles, on obtient $100e^(0.05-0.20)=$86.07 et $100e^(0.05+0.20)=$128.40. L’intervalle en dollars est asymétrique, même si celui du rendement logarithmique est symétrique.

Un autre exemple montre pourquoi la définition du rendement importe. Une baisse de 50%, de $100 à $50, suivie d’une hausse de 50%, ne porte le prix qu’à $75 : le rendement simple cumulé est -25%. Les rendements logarithmiques s’additionnent exactement en ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%. Revenir de $50 à $100 exige une hausse de 100%.

Liste de contrôle des tests et des risques du modèle

Utilisez des données de rendement total ou des prix correctement ajustés ; fractionnements et distributions ordinaires peuvent créer de faux sauts dans les séries non ajustées.
Alignez horodatages, devises, heures de clôture, observations manquantes et jours sans négociation avant de calculer les rendements.
Indiquez explicitement si vous utilisez des rendements simples ou logarithmiques ; ils ne sont proches que pour de petites variations.
Comparez l’asymétrie empirique, l’excès de kurtosis, les quantiles 1 %/5 %/95 %/99 %, les histogrammes et les graphiques Q-Q à une référence normale.
Examinez séparément les périodes calmes et les crises. Le simple mélange de régimes de volatilité changeants peut produire des rendements inconditionnels à queues épaisses.
Testez la dépendance sérielle des rendements et de leurs carrés ; le regroupement de volatilité contredit l’hypothèse d’accroissements constants et indépendants.
N’appliquez pas mécaniquement l’échelle √T autour des publications de résultats, des événements programmés, d’une mémoire longue ou des changements de régime.
Séparer les paramètres physiques utilisés pour la prévision des paramètres neutres au risque déduits pour la tarification.
Utilisez la surface actuelle de volatilité implicite pour valoriser les options entre différents prix d’exercice, plutôt que d’imposer à tous la même volatilité à la monnaie.
Soumettez à des scénarios de stress les sauts, défauts, suspensions de cotation, pertes de liquidité et révisions de volatilité hors de la diffusion continue.
Validez paramètres et erreurs de couverture hors échantillon ; l’ajustement aux extrêmes historiques ne prouve pas la stabilité future.
Pour les options dépendantes du chemin, simulez les trajectoires intermédiaires et l’erreur de discrétisation, pas seulement les prix terminaux lognormaux.

Idées fausses courantes

« Les rendements boursiers sont lognormaux. » L’affirmation classique est que les prix sont lognormaux et les rendements logarithmiques normaux.
« Des prix modélisés positifs prouvent le réalisme. » La positivité ne tient compte ni des défauts, ni des sauts, ni des queues épaisses, ni des régimes de volatilité.
“Le prix moyen est le prix le plus probable.” La moyenne, la médiane et le mode d’une distribution lognormale diffèrent.
“Une fourchette de log-rendement symétrique est symétrique en dollars.” L’exponentiation crée une fourchette de prix asymétrique.
« La probabilité risque-neutre est la probabilité réelle. » C’est la mesure compatible avec une valorisation actualisée sans arbitrage ; son rôle diffère de celui d’une prévision physique.
“La volatilité annuelle correspond toujours à la volatilité quotidienne multipliée par √252.” Cette mise à l’échelle nécessite des incréments indépendants stables.
“Une volatilité historique évalue chaque option.” Les prix des options de marché impliquent généralement une volatilité dépendante du prix d’exercice et de l’échéance.
“Les événements rares doivent être supprimés en tant que valeurs aberrantes.” Après vérification des données, les extrêmes peuvent constituer une preuve essentielle contre les queues supposées.
« Échantillonner des prix terminaux lognormaux permet de valoriser tout dérivé. » Les options à barrière, asiatiques et américaines dépendent de la trajectoire ou de décisions d’exercice.