Логнормальные цены акций: предположения, математика и пределы

Поймите, почему в классических моделях опционов используются логарифмически нормальные цены акций, насколько различаются простые и логарифмические доходности, как расходятся средние и медианные цены и почему «толстые хвосты», скачки и меняющаяся волатильность ограничивают это предположение.

Только в образовательных целях; не является инвестиционным советом или инвестиционной рекомендацией. Инвестиции могут привести к убыткам.

Краткий ответ

Классические модели опционов часто предполагают, что будущая цена акции имеет логарифмически нормальное распределение, а это означает, что ее непрерывно начисляемая логарифмическая доходность имеет нормальное распределение. Сама цена не считается нормальной, а доходность не является «логнормальной». При геометрическом броуновском движении:

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z], где Z∼N(0,1).

Здесь μ — дрейф цены в выбранной вероятностной мере, σ — волатильность, а T — горизонт. Экспоненцирование сохраняет модельные цены положительными, делает многопериодные логарифмические доходности аддитивными и приводит к удобным формулам для опционов. Реальные рынки не полностью соответствуют этому допущению: доходности демонстрируют асимметрию, тяжёлые хвосты, кластеризацию волатильности, скачки, остановки торгов и изменение распределений. Логнормальность — прозрачный ориентир, а не закон рынка.

Механика распределения и ценообразования

Простая доходность равна R=S_T/S_0-1, а логарифмическая — g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R). Логарифмические доходности складываются во времени, тогда как простые доходности перемножаются. Рост со $100 до $110, а затем падение до $99 дают ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%. Простое сложение +10% и -10% ошибочно дало бы ноль.

Если ln S_T∼N(m,v), медиана цены равна e^m, среднее — e^(m+v/2), а мода — e^(m-v). Правосторонне асимметричное распределение цены имеет нулевую нижнюю границу и не имеет конечной верхней границы. За конечное время цена не может стать строго равной нулю, поэтому дефолт и другие поглощающие события нужно моделировать отдельно.

В физической мере выбор μ требует предположить или оценить доходность. В нейтральной к риску мере Блэка — Шоулза дрейф цены становится равным r−q, поэтому среднее логарифмической доходности равно (r-q-σ²/2)T. Такое распределение оценивает условные требования при отсутствии арбитража, а не прогнозирует реальные частоты. Постоянная σ также означала бы одинаковую подразумеваемую волатильность для всех страйков одного срока, что противоречит наблюдаемому скью или улыбке.

Пример распределения на один год

Пусть S_0=$100, а логарифмическая доходность за год нормально распределена со средним 5% и стандартным отклонением 20%. Медиана будущей цены равна $100e^0.05=$105.13, среднее — $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25, а мода — $100e^(0.05-0.20²)=$101.01. Поэтому «ожидаемая цена» не совпадает ни с центром, ни с наиболее вероятным значением распределения.

Если принять Z=-1 и Z=+1 за приближения к 16-му и 84-му процентилям, получим $100e^(0.05-0.20)=$86.07 и $100e^(0.05+0.20)=$128.40. Диапазон цен в долларах асимметричен, хотя интервал логарифмической доходности симметричен.

Другой пример показывает, почему важно различать виды доходности. После падения на 50% с $100 до $50 и последующего роста на 50% цена достигнет лишь $75; накопленная простая доходность составит -25%. Логарифмические доходности точно суммируются в ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%. Чтобы вернуться с $50 к $100, цене нужно вырасти на 100%.

Тестирование и контрольный список рисков модели

Используйте данные о полной доходности или корректно скорректированные цены; дробление акций и обычные выплаты могут создавать ложные скачки в нескорректированных рядах.
Перед расчётом доходности согласуйте временные метки, валюты, время закрытия рынков, пропуски в данных и неторговые дни.
Явно указывайте, какую доходность используете — простую или логарифмическую; они близки только при небольших изменениях.
Сравните эмпирическую асимметрию, избыточный эксцесс, квантили 1 %/5 %/95 %/99 %, гистограммы и графики Q-Q с нормальным эталоном.
Проверяйте спокойные и кризисные периоды отдельно. Само смешение меняющихся режимов волатильности может породить безусловное распределение доходности с тяжёлыми хвостами.
Проверяйте серийную зависимость доходности и её квадратов; кластеризация волатильности нарушает допущение о постоянных независимых приращениях.
Не применяйте масштабирование √T механически вокруг публикаций отчётности, запланированных событий, долгой памяти или смены режима.
Отделяйте физические параметры, используемые для прогнозирования, от нейтральных к риску параметров, выводимых для ценообразования.
Для оценки опционов с разными страйками используйте текущую поверхность подразумеваемой волатильности, а не одну волатильность при деньгах для всех страйков.
Проводите стресс-тесты скачков, дефолта, остановок торгов, потери ликвидности и переоценки волатильности за пределами непрерывной диффузии.
Проверяйте параметры и ошибки хеджирования вне выборки; подгонка к историческим экстремумам не доказывает будущую стабильность.
Для опционов, зависящих от траектории, моделируйте промежуточные пути и ошибку дискретизации, а не только логнормальные конечные цены.

Распространённые заблуждения

«Доходность акций логарифмически нормальна». Классическое утверждение состоит в том, что цены логарифмически нормальны, а логарифмическая доходность нормальна.
«Положительные смоделированные цены доказывают реалистичность». Позитивность не отражает режимы дефолта, скачков, «толстых хвостов» или волатильности.
«Средняя цена – это наиболее вероятная цена». Среднее значение, медиана и мода логнормального распределения различаются.
«Диапазон симметричной логарифмической доходности симметричен в долларах». Возведение в степень создает асимметричный ценовой диапазон.
«Нейтральная к риску вероятность — это реальная вероятность». Это мера, согласованная с дисконтированным безарбитражным ценообразованием; её назначение отличается от физического прогноза.
«Годовая волатильность всегда равна дневной волатильности, умноженной на √252». Такое масштабирование требует стабильных независимых приращений.
«Одна историческая волатильность оценивает каждый опцион». Рыночные цены опционов обычно подразумевают волатильность, зависящую от исполнения и срока погашения.
«Редкие события следует удалять как выбросы». После проверки данных экстремумы могут оказаться существенным доказательством против предполагаемых хвостов.
«Выборки логнормальной конечной цены достаточно для любого дериватива». Барьерные, азиатские и американские опционы зависят от траектории или решений об исполнении.