주가의 로그정규 가정: 수학, 용도와 한계

교육 목적으로만 제공되며 투자 조언이 아닙니다

직접 답변

고전 옵션 모형은 미래 주식 가격이 로그정규분포, 즉 연속복리 로그수익률이 정규분포를 따른다고 가정합니다. 가격 자체가 정규이거나 수익률이 “로그정규”라는 뜻이 아닙니다. 기하 브라운 운동에서는:

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z], 여기서 Z∼N(0,1)입니다.

지수 변환은 모형 가격을 양수로 유지하고 여러 기간 로그수익률을 더할 수 있게 하며 계산 가능한 옵션 공식으로 이어집니다. 현실에는 왜도, 두꺼운 꼬리, 변동성 군집, 점프, 거래 중단과 분포 변화가 있습니다. 로그정규는 투명한 기준이지 시장 법칙이 아닙니다.

분포 및 가격 결정 원리

단순수익률은 R=S_T/S_0-1, 로그수익률은 g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R)입니다. 로그수익률은 기간별로 더하고 단순수익률은 곱으로 복리화합니다. $100에서 $110, 다시 $99가 되면 ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%입니다. 단순수익률 +10%와 -10%를 더해 0으로 보는 것은 틀립니다.

ln S_T∼N(m,v)이면 가격 중앙값은 e^m, 평균은 e^(m+v/2), 최빈값은 e^(m-v)입니다. 오른쪽으로 치우친 가격 분포는 0이 하한이고 유한한 상한은 없습니다. 유한 시간에 정확히 0에 도달하지 않으므로 부도 같은 흡수 상태는 별도로 모형화해야 합니다.

Black-Scholes 위험중립 가격 결정은 현실 기대수익률이 아니라 (r-q-σ²/2)T를 사용합니다. 이 분포는 무차익 아래 조건부 지급을 가격화하기 위한 것이며 현실 빈도 예측이 아닙니다. 일정한 σ는 같은 만기의 모든 행사가에 같은 IV를 뜻하므로 관측되는 스큐 또는 스마일과도 다릅니다.

1년 분포 예시

S_0=$100이고 1년 로그수익률 평균이 5%, 표준편차가 20%라고 가정합니다. 미래 가격 중앙값은 $100e^0.05=$105.13, 평균은 $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25, 최빈값은 $100e^(0.05-0.20²)=$101.01입니다. “기대 가격”은 분포 중앙이나 가장 가능성 높은 영역과 같지 않습니다.

Z=-1과 Z=+1을 약 16번째와 84번째 백분위로 쓰면 $100e^(0.05-0.20)=$86.07 및 $100e^(0.05+0.20)=$128.40입니다. 로그수익률 구간이 대칭이어도 달러 가격 구간은 비대칭입니다.

$100에서 50% 하락해 $50이 된 후 50% 상승해도 $75이며 누적 단순수익률은 -25%입니다. 로그수익률 합은 ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%입니다. $50에서 $100으로 회복하려면 100% 상승해야 합니다.

검증 및 모형 위험 점검

총수익 또는 올바르게 조정된 가격을 사용합니다. 분할과 일반 분배는 미조정 자료에 가짜 점프를 만듭니다.
타임스탬프, 통화, 장 마감 시점, 결측치와 비거래일을 정렬합니다.
단순수익률과 로그수익률 중 무엇인지 명시합니다. 작은 변화에서만 서로 가깝습니다.
표본 왜도, 초과첨도, 1%/5%/95%/99% 분위수, 히스토그램, Q-Q 도표를 정규 기준과 비교합니다.
평온기와 위기 기간을 따로 확인합니다. 서로 다른 변동성 상태의 혼합만으로도 두꺼운 꼬리가 생깁니다.
수익률과 제곱수익률의 시계열 의존성을 확인합니다. 변동성 군집은 일정한 독립 증분에 위배됩니다.
실적 발표, 예정 이벤트, 장기 기억 또는 국면 변화에서 √T를 기계적으로 쓰지 않습니다.
예측의 현실 매개변수와 가격 결정의 위험중립 매개변수를 구분합니다.
모든 행사가에 하나의 ATM 변동성을 강제하지 말고 현재 IV 곡면을 사용합니다.
점프, 부도, 거래 정지, 유동성 상실과 변동성 재평가를 스트레스 테스트합니다.
매개변수와 헤지 오차를 표본 밖에서 검증합니다. 과거 극단값 적합은 미래 안정성을 증명하지 않습니다.
경로 의존 옵션은 종가뿐 아니라 중간 경로와 이산화 오차를 시뮬레이션합니다.

흔한 오해

“주식 수익률은 로그정규다.” 고전 가정은 가격이 로그정규, 로그수익률이 정규라는 것입니다.
“모형 가격이 양수면 현실적이다.” 부도, 점프, 두꺼운 꼬리나 변동성 국면을 담지 못합니다.
“평균 가격이 가장 가능성 높은 가격이다.” 평균, 중앙값, 최빈값이 다릅니다.
“대칭 로그수익률 구간은 달러로도 대칭이다.” 지수 변환은 비대칭 가격 구간을 만듭니다.
“위험중립 확률은 실제 확률이다.” 가격 조정과 위험 프리미엄을 포함하며 목적이 다릅니다.
“일일 변동성에 √252를 곱하면 언제나 연율이다.” 안정적인 독립 증분이 필요합니다.
“한 가지 역사적 변동성으로 모든 옵션을 평가한다.” 시장 IV는 행사가와 만기별로 다릅니다.
“드문 날은 이상치로 삭제해야 한다.” 자료 확인 후 극단값은 꼬리 가정에 대한 핵심 반증일 수 있습니다.
“로그정규 만기값만으로 모든 파생상품을 평가한다.” 배리어, 아시안, 미국형은 경로나 행사 결정에 의존합니다.