Precios de acciones lognormales: supuestos, matemáticas y límites

Comprenda por qué los modelos de opciones clásicos utilizan precios de acciones lognormales, en qué se diferencian los rendimientos simples y logarítmicos, cómo divergen los precios medios y medianos y por qué las colas gruesas, los saltos y la volatilidad cambiante limitan el supuesto.

Solo con fines educativos; no constituye asesoramiento de inversión. Invertir puede ocasionar pérdidas.

Respuesta directa

Los modelos clásicos de opciones suelen suponer que el precio futuro de una acción tiene una distribución lognormal, lo que equivale a suponer que su rendimiento logarítmico con capitalización continua tiene una distribución normal. No se supone que el precio sea normal ni que el rendimiento sea «lognormal». Bajo un movimiento browniano geométrico:

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z], donde Z∼N(0,1).

Aquí, μ es la deriva del precio bajo la medida de probabilidad utilizada, σ es la volatilidad y T es el horizonte. La exponenciación mantiene positivos los precios modelados, permite sumar los rendimientos logarítmicos de varios períodos y conduce a fórmulas de opciones manejables. Los mercados reales no cumplen exactamente el supuesto: los rendimientos muestran asimetría, colas gruesas, agrupación de volatilidad, saltos, interrupciones de negociación y distribuciones cambiantes. La lognormalidad es una referencia transparente, no una ley del mercado.

Mecánica de distribución y fijación de precios

El rendimiento simple es R=S_T/S_0-1; el rendimiento logarítmico es g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R). Los rendimientos logarítmicos se suman a lo largo del tiempo, mientras que los simples se componen multiplicativamente. Una subida de $100 a $110, seguida de una bajada a $99, da ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%. Sumar +10% y -10% como rendimientos simples llevaría erróneamente a cero.

Si ln S_T∼N(m,v), la mediana del precio es e^m, la media es e^(m+v/2) y la moda es e^(m-v). Esta distribución de precios, sesgada a la derecha, tiene cero como límite inferior y carece de límite superior finito. No puede alcanzar exactamente cero en un tiempo finito, por lo que el impago y otros estados absorbentes deben modelarse por separado.

Bajo la medida física, fijar μ exige suponer o estimar un rendimiento. Bajo la medida neutral al riesgo de Black-Scholes, la deriva del precio pasa a ser r−q, por lo que la media del rendimiento logarítmico es (r-q-σ²/2)T. Esa distribución valora derechos contingentes bajo condiciones de no arbitraje; no pronostica frecuencias reales. Una σ constante también implicaría una única volatilidad implícita para todos los precios de ejercicio de un vencimiento, en contra del sesgo o sonrisa observados.

Un ejemplo de distribución de un año

Sea S_0=$100 y supongamos que el rendimiento logarítmico a un año es normal, con media 5% y desviación estándar 20%. La mediana del precio futuro es $100e^0.05=$105.13; su media es $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25 y su moda, $100e^(0.05-0.20²)=$101.01. Por tanto, el «precio esperado» no coincide con el centro ni con el valor más probable de la distribución.

Si se usan Z=-1 y Z=+1 como aproximaciones de los percentiles 16 y 84, se obtienen $100e^(0.05-0.20)=$86.07 y $100e^(0.05+0.20)=$128.40. El intervalo en dólares es asimétrico aunque el intervalo del rendimiento logarítmico sea simétrico.

Otro ejemplo muestra por qué importa la definición del rendimiento. Una caída del 50%, de $100 a $50, seguida de una subida del 50%, solo lleva el precio a $75: el rendimiento simple acumulado es -25%. Los rendimientos logarítmicos suman exactamente ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%. Para recuperar de $50 a $100 hace falta una subida del 100%.

Lista de verificación de pruebas y riesgos del modelo

Utilice datos de rentabilidad total o precios correctamente ajustados; los desdoblamientos y las distribuciones ordinarias pueden crear saltos falsos en series sin ajustar.
Alinee las marcas temporales, las divisas, las horas de cierre, las observaciones ausentes y los días sin negociación antes de calcular los rendimientos.
Indique expresamente si usa rendimientos simples o logarítmicos; solo son próximos cuando los cambios son pequeños.
Compare la asimetría empírica, el exceso de curtosis, los cuantiles del 1%/5%/95%/99%, los histogramas y los gráficos Q-Q con un punto de referencia normal.
Examine por separado los periodos tranquilos y los de crisis. Mezclar regímenes de volatilidad cambiantes puede generar por sí solo rendimientos incondicionales con colas gruesas.
Compruebe la dependencia serial en los rendimientos y sus cuadrados; la agrupación de volatilidad contradice los incrementos independientes y constantes.
No aplique mecánicamente la escala √T en torno a resultados empresariales, eventos programados, memoria larga o cambios de régimen.
Separar los parámetros físicos utilizados para la previsión de los parámetros neutrales al riesgo inferidos para la fijación de precios.
Use la superficie actual de volatilidad implícita para valorar opciones entre distintos precios de ejercicio, en vez de imponer una única volatilidad at-the-money a todos ellos.
Someta a tensión los saltos, los impagos, las suspensiones de negociación, la pérdida de liquidez y la revisión de la volatilidad fuera de la difusión continua.
Valide los parámetros y los errores de cobertura fuera de muestra; ajustar los extremos históricos no demuestra estabilidad futura.
Para opciones dependientes de la ruta, simule rutas intermedias y errores de discretización, no solo precios terminales lognormales.

Errores comunes

“Los rendimientos de las acciones son lognormales”. La afirmación clásica es que los precios son lognormales y los rendimientos logarítmicos son normales.
“Los precios modelados positivos demuestran el realismo”. La positividad no refleja los incumplimientos, los saltos, las colas gruesas ni los regímenes de volatilidad.
“El precio medio es el precio más probable”. La media, la mediana y la moda de una distribución lognormal difieren.
“Un rango de rendimiento logarítmico simétrico es simétrico en dólares”. La exponenciación crea un rango de precios asimétrico.
“La probabilidad neutral al riesgo es la probabilidad real”. Es la medida compatible con precios descontados sin arbitraje y tiene un propósito distinto de una previsión física.
“La volatilidad anual es siempre la volatilidad diaria multiplicada por √252”. Esa escala necesita incrementos independientes estables.
“Una volatilidad histórica pone precio a todas las opciones”. Los precios de las opciones de mercado generalmente implican una volatilidad dependiente del ejercicio y del vencimiento.
“Los eventos raros deben eliminarse como valores atípicos”. Una vez verificados los datos, los extremos pueden ser evidencia esencial contra las colas supuestas.
“Muestrear solo un precio terminal lognormal sirve para valorar cualquier derivado”. Las opciones de barrera, asiáticas y americanas dependen de la trayectoria o de decisiones de ejercicio.