Prezzi delle azioni lognormali: ipotesi, matematica e limiti

Comprendere perché i modelli di opzioni classici utilizzano prezzi azionari lognormali, come differiscono i rendimenti semplici e logaritmici, come i prezzi medi e mediani divergono e perché code spesse, salti e volatilità variabile limitano l'ipotesi.

Solo a scopo educativo; non costituisce consulenza né raccomandazione d’investimento. Gli investimenti possono comportare perdite.

Risposta diretta

I modelli di opzioni classici spesso presuppongono che il prezzo futuro di un titolo sia distribuito in modo logaritmico, il che significa che il suo rendimento logaritmico composto in modo continuo è distribuito normalmente. Il prezzo in sé non è considerato normale e il rendimento non è “lognormale”. Sotto moto browniano geometrico:

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z], dove Z∼N(0,1).

Qui μ è la deriva del prezzo sotto la misura di probabilità adottata, σ è la volatilità e T è l’orizzonte. L’esponenziazione mantiene positivi i prezzi modellati, rende additivi i rendimenti logaritmici multiperiodali e porta a formule di opzioni trattabili. I mercati reali non rispettano esattamente l’ipotesi: i rendimenti mostrano asimmetria, code spesse, concentrazione della volatilità, salti, sospensioni delle negoziazioni e distribuzioni mutevoli. La lognormalità è un riferimento trasparente, non una legge del mercato.

Meccanismi di distribuzione e prezzo

Il rendimento semplice è R=S_T/S_0-1; il rendimento logaritmico è g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R). I rendimenti logaritmici si sommano nel tempo, mentre quelli semplici si compongono moltiplicativamente. Un aumento da $100 a $110, seguito da un calo a $99, dà ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005%. Sommare +10% e -10% come rendimenti semplici porterebbe erroneamente a zero.

Se ln S_T∼N(m,v), la mediana del prezzo è e^m, la media è e^(m+v/2) e la modalità è e^(m-v). La distribuzione dei prezzi distorta a destra ha un limite inferiore pari a zero e nessun limite superiore finito. Non può raggiungere esattamente lo zero in un tempo finito, quindi default e altri eventi assorbenti sono assenti a meno che non vengano modellizzati separatamente.

Sotto la misura fisica, scegliere μ richiede di ipotizzare o stimare un rendimento. Sotto la misura neutrale al rischio di Black-Scholes, la deriva del prezzo diventa r−q; la media del rendimento logaritmico è quindi (r-q-σ²/2)T. Questa distribuzione valuta i crediti contingenti in assenza di arbitraggio; non prevede le frequenze reali. Una σ costante implicherebbe inoltre la stessa volatilità implicita per tutti i prezzi di esercizio di una scadenza, in contrasto con lo skew o lo smile osservato.

Un esempio di distribuzione su un anno

Sia S_0=$100 e supponiamo che il rendimento logaritmico a un anno sia normale, con media 5% e deviazione standard 20%. La mediana del prezzo futuro è $100e^0.05=$105.13, la media è $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25 e la moda è $100e^(0.05-0.20²)=$101.01. Il “prezzo atteso” non coincide quindi con il centro né con il valore più probabile della distribuzione.

Usando Z=-1 e Z=+1 come approssimazioni del 16° e dell’84° percentile, si ottengono $100e^(0.05-0.20)=$86.07 e $100e^(0.05+0.20)=$128.40. L’intervallo in dollari è asimmetrico, anche se quello del rendimento logaritmico è simmetrico.

Un altro esempio mostra perché la definizione di rendimento è importante. Un calo del 50%, da $100 a $50, seguito da un rialzo del 50%, porta il prezzo soltanto a $75: il rendimento semplice cumulato è -25%. I rendimenti logaritmici sommano esattamente a ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77%. Per tornare da $50 a $100 serve un rialzo del 100%.

Verifiche e rischi del modello

Utilizzare dati di rendimento totale o prezzi correttamente rettificati; frazionamenti e distribuzioni ordinarie possono creare falsi salti nelle serie non rettificate.
Allineare date e orari, valute, orari di chiusura, osservazioni mancanti e giorni senza negoziazioni prima di calcolare i rendimenti.
Indicare esplicitamente se si usano rendimenti semplici o logaritmici; i due valori sono vicini solo per variazioni contenute.
Confrontare asimmetria empirica, curtosi in eccesso, quantili 1%/5%/95%/99%, istogrammi e grafici Q-Q con un riferimento normale.
Controllare separatamente i periodi di calma e quelli di crisi. Mescolare regimi di volatilità mutevoli può di per sé creare rendimenti incondizionati dalla coda grassa.
Verificare la dipendenza seriale nei rendimenti e nei loro quadrati; il clustering della volatilità viola l’ipotesi di incrementi costanti e indipendenti.
Non applicare meccanicamente la scala √T in prossimità di risultati societari, eventi programmati, memoria lunga o cambi di regime.
Separare i parametri fisici utilizzati per la previsione dai parametri neutrali al rischio dedotti per la determinazione del prezzo.
Utilizzare la superficie corrente di volatilità implicita per valutare opzioni con prezzi di esercizio diversi, invece di imporre la stessa volatilità at-the-money a ogni strike.
Sottoporre a stress salti, default, sospensioni delle negoziazioni, perdita di liquidità e riprezzamento della volatilità al di fuori della diffusione continua.
Convalidare parametri ed errori di copertura fuori campione; l’adattamento agli estremi storici non dimostra la stabilità futura.
Per le opzioni dipendenti dal percorso, simulare percorsi intermedi ed errori di discretizzazione, non solo prezzi terminali lognormali.

Errori comuni

“I rendimenti azionari sono lognormali.” L’affermazione classica è che i prezzi sono lognormali e i rendimenti logaritmici sono normali.
“Prezzi modellati positivi dimostrano il realismo.” La positività non coglie default, salti, code spesse o regimi di volatilità.
“Il prezzo medio è il prezzo più probabile.” La media, la mediana e la moda di una distribuzione lognormale differiscono.
“Un intervallo di rendimenti logaritmici simmetrico è simmetrico in dollari.” L’esponenziazione crea una fascia di prezzo asimmetrica.
“La probabilità neutrale al rischio è la probabilità effettiva.” È la misura coerente con prezzi scontati privi di arbitraggio e ha uno scopo diverso da una previsione fisica.
“La volatilità annuale corrisponde sempre alla volatilità giornaliera moltiplicata per √252.” Questo ridimensionamento necessita di incrementi stabili e indipendenti.
“Una volatilità storica prezza ogni opzione.” I prezzi delle opzioni di mercato implicano generalmente una volatilità dipendente dallo strike e dalla scadenza.
“Gli eventi rari dovrebbero essere eliminati come valori anomali.” Dopo il controllo dei dati, gli estremi possono costituire una prova essenziale contro le code presunte.
“Campionare prezzi terminali lognormali consente di valutare qualsiasi derivato.” Le opzioni barriera, asiatiche e americane dipendono dal percorso o dalle decisioni di esercizio.