ราคาหุ้นแบบล็อกนอร์มัล: สมมติฐาน คณิตศาสตร์ และข้อจำกัด

ทำความเข้าใจว่าเหตุใดแบบจำลองออปชันแบบดั้งเดิมจึงสมมติให้ราคาหุ้นมีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล ผลตอบแทนแบบง่ายต่างจากผลตอบแทนลอการิทึมอย่างไร และหางหนา การกระโดด และความผันผวนที่เปลี่ยนแปลงจำกัดสมมติฐานนี้อย่างไร

จัดทำขึ้นเพื่อการศึกษาเท่านั้น ไม่ใช่คำแนะนำการลงทุน การลงทุนอาจทำให้สูญเสียเงินลงทุนได้

คำตอบโดยตรง

แบบจำลองออปชันแบบดั้งเดิมมักสมมติว่า ราคา หุ้นในอนาคตมีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล ซึ่งหมายความว่า ผลตอบแทนลอการิทึม แบบทบต้นต่อเนื่องมีการแจกแจงแบบปกติ แบบจำลองไม่ได้สมมติว่าราคาเองมีการแจกแจงแบบปกติ และไม่ได้กล่าวว่าผลตอบแทนมีการแจกแจงแบบ “ล็อกนอร์มัล” ภายใต้การเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต:

S_T=S_0 exp[(μ-σ²/2)T+σ√T Z] โดยที่ Z∼N(0,1)

ในสมการนี้ μ คืออัตราแนวโน้มของราคาภายใต้มาตรวัดความน่าจะเป็นที่ใช้ σ คือความผันผวน และ T คือช่วงเวลา การยกกำลังทำให้ราคาในแบบจำลองเป็นบวก ทำให้ผลตอบแทนลอการิทึมหลายช่วงเวลาบวกกันได้ และนำไปสู่สูตรออปชันที่คำนวณได้สะดวก แต่ตลาดจริงไม่เป็นไปตามสมมติฐานนี้ทุกประการ ผลตอบแทนมีความเบ้ หางหนา การกระจุกตัวของความผันผวน การกระโดด การหยุดซื้อขาย และการแจกแจงที่เปลี่ยนไป ล็อกนอร์มัลจึงเป็นเกณฑ์อ้างอิงที่ชัดเจน ไม่ใช่กฎของตลาด

กลไกการแจกแจงและการกำหนดราคา

ผลตอบแทนแบบง่ายคือ R=S_T/S_0-1 ส่วนผลตอบแทนลอการิทึมคือ g=ln(S_T/S_0)=ln(1+R) ผลตอบแทนลอการิทึมบวกกันข้ามช่วงเวลาได้ ขณะที่ผลตอบแทนแบบง่ายต้องทบต้นด้วยการคูณ ราคาที่เพิ่มจาก $100 เป็น $110 แล้วลดลงเป็น $99 ให้ค่า ln(1.10)+ln(0.90)=ln(0.99)=-1.005% การนำผลตอบแทนแบบง่าย +10% และ -10% มาบวกกันตรง ๆ จึงให้ผลเป็นศูนย์อย่างไม่ถูกต้อง

ถ้า ln S_T∼N(m,v) มัธยฐานของราคาคือ e^m ค่าเฉลี่ยคือ e^(m+v/2) และฐานนิยมคือ e^(m-v) การแจกแจงของราคามีความเบ้ไปทางขวา มีขอบล่างที่ศูนย์ และไม่มีขอบบนที่จำกัด แบบจำลองนี้ไม่ทำให้ราคาถึงศูนย์พอดีภายในเวลาจำกัด ดังนั้นการผิดนัดและสถานะดูดกลืนอื่นต้องสร้างแบบจำลองแยกต่างหาก

ภายใต้มาตรวัดจริง การกำหนด μ ต้องอาศัยสมมติฐานหรือค่าประมาณของผลตอบแทน แต่ภายใต้มาตรวัดที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงของ Black-Scholes อัตราแนวโน้มของราคาจะเป็น r−q ทำให้ค่าเฉลี่ยของผลตอบแทนลอการิทึมเท่ากับ (r-q-σ²/2)T การแจกแจงนี้ใช้กำหนดราคาสิทธิเรียกร้องที่มีเงื่อนไขภายใต้หลักไม่เปิดช่องให้ทำกำไรไร้ความเสี่ยง ไม่ใช่การคาดการณ์ความถี่ที่เกิดขึ้นจริง นอกจากนี้ σ ที่คงที่ยังหมายถึงความผันผวนโดยนัยค่าเดียวสำหรับราคาใช้สิทธิทุกระดับในวันครบกำหนดเดียวกัน ซึ่งขัดกับ skew หรือ smile ที่พบในตลาด

ตัวอย่างการแจกแจงหนึ่งปี

สมมติให้ S_0=$100 และผลตอบแทนลอการิทึมหนึ่งปีมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย 5% และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20% มัธยฐานของราคาในอนาคตคือ $100e^0.05=$105.13 ค่าเฉลี่ยคือ $100e^(0.05+0.20²/2)=$107.25 และฐานนิยมคือ $100e^(0.05-0.20²)=$101.01 ดังนั้น “ราคาคาดหมาย” ไม่ใช่ค่ากึ่งกลางหรือค่าที่มีโอกาสเกิดมากที่สุดของการแจกแจง

ถ้าใช้ Z=-1 และ Z=+1 แทนเปอร์เซ็นไทล์ที่ 16 และ 84 โดยประมาณ จะได้ $100e^(0.05-0.20)=$86.07 และ $100e^(0.05+0.20)=$128.40 ช่วงราคาในหน่วยดอลลาร์ไม่สมมาตร แม้ว่าช่วงผลตอบแทนลอการิทึมจะสมมาตรก็ตาม

อีกตัวอย่างหนึ่งแสดงว่าเหตุใดนิยามผลตอบแทนจึงสำคัญ การลดลง 50% จาก $100 เป็น $50 แล้วเพิ่มขึ้น 50% ทำให้ราคาอยู่ที่ $75 เท่านั้น ผลตอบแทนแบบง่ายสะสมจึงเป็น -25% ส่วนผลตอบแทนลอการิทึมรวมกันได้พอดีเป็น ln(0.5)+ln(1.5)=ln(0.75)=-28.77% การฟื้นจาก $50 กลับไป $100 ต้องเพิ่มขึ้น 100%

รายการตรวจสอบการทดสอบและความเสี่ยงของแบบจำลอง

ใช้ข้อมูลผลตอบแทนรวม หรือข้อมูลราคาที่ปรับอย่างถูกต้อง เพราะการแตกหุ้นและการจ่ายเงินตามปกติอาจสร้างการกระโดดเทียมในข้อมูลที่ไม่ปรับ
จัดแนวเวลา สกุลเงิน เวลาปิดตลาด ข้อมูลที่ขาดหาย และวันที่ไม่มีการซื้อขายให้ตรงกันก่อนคำนวณผลตอบแทน
ระบุให้ชัดว่าใช้ผลตอบแทนแบบง่ายหรือแบบลอการิทึม ทั้งสองค่าใกล้กันเฉพาะเมื่อการเปลี่ยนแปลงมีขนาดเล็ก
เปรียบเทียบความเบ้ ความโด่งส่วนเกิน ควอนไทล์ 1%/5%/95%/99% ฮิสโตแกรม และกราฟ Q-Q ของข้อมูลกับเกณฑ์แบบปกติ
ตรวจสอบช่วงสงบและช่วงวิกฤตแยกกัน เพราะการผสมภาวะความผันผวนที่เปลี่ยนไปก็อาจสร้างการแจกแจงผลตอบแทนแบบไม่มีเงื่อนไขที่มีหางหนาได้
ทดสอบความสัมพันธ์ตามลำดับเวลาในผลตอบแทนและผลตอบแทนยกกำลังสอง การกระจุกตัวของความผันผวนขัดกับสมมติฐานการเพิ่มขึ้นที่คงที่และเป็นอิสระ
อย่าใช้การปรับขนาด √T โดยอัตโนมัติรอบการประกาศผลประกอบการ เหตุการณ์ที่กำหนดไว้ ความจำระยะยาว หรือการเปลี่ยนภาวะตลาด
แยกพารามิเตอร์ภายใต้มาตรวัดจริงที่ใช้พยากรณ์ ออกจากพารามิเตอร์ที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงซึ่งอนุมานมาเพื่อกำหนดราคา
ใช้พื้นผิวความผันผวนโดยนัยปัจจุบันเพื่อประเมินออปชันข้ามราคาใช้สิทธิ แทนการบังคับใช้ความผันผวน ณ จุดเสมอทุนค่าเดียวกับทุกสัญญา
ทดสอบภาวะวิกฤตจากการกระโดด การผิดนัด การหยุดซื้อขาย การหายไปของสภาพคล่อง และการกำหนดราคาความผันผวนใหม่ ซึ่งอยู่นอกกระบวนการแพร่แบบราบรื่น
ตรวจสอบพารามิเตอร์และความคลาดเคลื่อนของการป้องกันความเสี่ยงนอกกลุ่มตัวอย่าง การเข้ากับเหตุการณ์สุดขั้วในอดีตไม่ได้พิสูจน์เสถียรภาพในอนาคต
สำหรับออปชันที่ขึ้นกับเส้นทาง ให้จำลองเส้นทางระหว่างทางและความคลาดเคลื่อนจากการแบ่งช่วงเวลา ไม่ใช่สุ่มเฉพาะราคาปลายทางแบบล็อกนอร์มัล

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

“ผลตอบแทนหุ้นมีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล” ข้อความตามแบบจำลองดั้งเดิมคือราคามีการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัล และผลตอบแทนลอการิทึมมีการแจกแจงแบบปกติ
“ราคาในแบบจำลองเป็นบวกจึงพิสูจน์ว่าแบบจำลองสมจริง” ความเป็นบวกไม่ได้ครอบคลุมการผิดนัด การกระโดด หางหนา หรือภาวะความผันผวน
“ราคาเฉลี่ยคือราคาที่มีโอกาสเกิดมากที่สุด” ค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมของการแจกแจงแบบล็อกนอร์มัลแตกต่างกัน
“ช่วงผลตอบแทนลอการิทึมที่สมมาตรย่อมสมมาตรในหน่วยดอลลาร์” การยกกำลังทำให้ช่วงราคาไม่สมมาตร
“ความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงคือความน่าจะเป็นจริง” นี่คือมาตรวัดที่สอดคล้องกับการกำหนดราคาแบบคิดลดโดยไม่เปิดช่องให้ทำกำไรไร้ความเสี่ยง และมีวัตถุประสงค์ต่างจากการพยากรณ์จริง
“ความผันผวนรายปีเท่ากับความผันผวนรายวันคูณ √252 เสมอ” การปรับขนาดนี้ต้องอาศัยการเพิ่มขึ้นที่มีเสถียรภาพและเป็นอิสระ
“ความผันผวนในอดีตค่าเดียวใช้กำหนดราคาออปชันได้ทุกสัญญา” ราคาออปชันในตลาดมักสะท้อนความผันผวนที่ต่างกันตามราคาใช้สิทธิและวันครบกำหนด
“ควรลบเหตุการณ์ที่เกิดไม่บ่อยออกเพราะเป็นค่าผิดปกติ” หลังตรวจสอบข้อมูลแล้ว ค่าสุดขั้วอาจเป็นหลักฐานสำคัญที่คัดค้านสมมติฐานเกี่ยวกับหางของการแจกแจง
“การสุ่มราคาปลายทางแบบล็อกนอร์มัลเพียงพอสำหรับอนุพันธ์ทุกชนิด” ออปชันแบบมีเงื่อนไขกีดขวาง แบบเอเชีย และแบบอเมริกันขึ้นกับเส้นทางหรือการตัดสินใจใช้สิทธิ